Question

i⁴ⁿ = 1, p q? (Números complexos!)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, IsmaelCosta, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para explicar o porquê de a expressão complexa abaixo é igual a "1":

i⁴ⁿ = 1

ii) Antes veja que os complexos "i" seguem um ciclo de 4 em 4, caracterizando-se da seguinte forma:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = i²*i² = (-1)*(-1) = 1
i⁵ = i²*i³ = (-1)*(-i) = i
i⁶ = i³*i³ = (-i)*(-i) = i² = -1
i⁷ = i²*i⁵ = (-1)*(i) = -i
E assim sucessivamente a cada grupo de 4 em 4.

O que você notou? Deve ter notado que a partir de cada grupo de "4" em "4" repete-se novamente os valores encontrados, certo?

iii) Então sempre que você tiver um "i" elevado a qualquer expoente maior do que "4", você primeiro divide essa potência por "4" e observa qual é o resto que dá. Então o resultado será esse "i" elevado ao resto que você encontrou.
Por exemplo:

i²⁰. Divide-se "20" por "4". Dá quociente igual a 5 e resto "0". Logo: i²⁰ = i⁰ = 1
i²¹. Divide-se "21" por "4". Dá quociente igual a 5 e resto "1". Logo: i²¹ = i¹ = i
i²². Divide-se "22" por "4". Dá quociente igual a 5 e resto "2". Logo: i²² = i² = -1
i²³. Divide-se "23" por "4". Dá quociente igual a 5 e resto "3". Logo: i²³ = i³ = -i.

iv) Com base nisso, então se temos i⁴ⁿ, note que qualquer que seja o valor que você substitua o "n" vai dar sempre um múltiplo de "4", dando resto "0" quando você efetua a divisão do expoente por "4". Por exemplo:

iv.1) Para n = 0, teremos:

i⁴*⁰ = i⁰ = 1

iv.2) Para n = 1, teremos:

i⁴*¹ = i⁴ --- dividindo-se "4" por "4" dá quociente "1" e resto "0". Logo: i⁴ = i⁰ = 1

iv.3) Para n = 2, teremos:

i⁴*² = i⁸ --- dividindo-se "8" por "4" dá quociente "2" e resto "0". Logo: i⁸ = i⁰ = 1

E assim sucessivamente..........

Logo, é por isso que o complexo i⁴ⁿ é sempre igual a "1" <--- Esta é a resposta. Ou seja, é por isso que i⁴ⁿ sempre será igual a "1" pois se você substituir o "n" por qualquer número natural vai sempre encontrar um múltiplo de "4" que, quando dividido por "4", vai deixar resto "0". Por isso é que i⁴ⁿ = i⁰ = 1.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.