Question

I= ∫x^3 * e^(x^2)dt

Answer 1

$\int\ { x^{3} e^{ x^{2} } } \, dx$

Vamos resolver pelo método da substituição

k = x²
dk = 2x dx

Observe que na integral, quando substituirmos x² por k, deveremos trocar 2x dx por dk, mas estes valores não aparecem claramente, então vamos fazer uma manipulação: na integral, mudaremos x³ = x . x² porque assim, trocaremos esse x² e o expoente do "e" por k, e o x dx, por dk, multiplicando esse x por 2 e depois toda a integral por 1/2, veja:

$\int\ { x^{3} e^{ x^{2} } } \, dx \\ \\ \int\ { x^{2} . x. e^{ x^{2} } } \, dx \\ \\ k = x^{2} \\ \\ \int\ { k . x. e^{k } } \, dx$

Para trocar por dk, deveríamos ter 2x dx, mas temos apenas x dx, então, vamos multiplicar por 2 dentro da integral, e depois tida a integral por 1/2, para equilibrar:

$\int\ { k . x. e^{k } } \, dx \\ \\ \frac{1}{2} .\int\ { k . 2x. e^{k } } \, dx \\ \\ \frac{1}{2} .\int\ { k e^{k } } \, dk$

Agora, para resolver esta integral em k, vamos utilizar a integração por partes:

Lembrando que:

$\int\ {u} \, dv = uv - \int\ {v} \, du$

Deveremos determinar, na integral, quem será u e quem será dv:

$u = k \\ du = dk \\ \\ dv = e^{k} dk \\ v = \int\ {e^{k}} \, dk \\ v = e^{k}$

Substituindo:

$\frac{1}{2} .\int\ { k e^{k } } \, dk \\ \\ \frac{1}{2}. [u.v - \int\ {v} \, du ] \\ \\ \frac{1}{2}. [k.e^{k } - \int\ {e^{k }} \, dk ]$

Ficamos, agora, com uma integral simples:

$\frac{1}{2}. [k.e^{k } - \int\ {e^{k }} \, dk ] \\ \\ \frac{1}{2}. [k.e^{k } - e^{k } ] \\ \\ \frac{1}{2}. [e^{k }(k - 1) ] \\ \\ \frac{e^{k }}{2}(k-1)$

Lembrando que k = x²

$\frac{e^{k }}{2}(k-1) \\ \\ \frac{e^{ x^{2} }}{2}( x^{2} -1) + C$

Espero ter ajudado