Question

I)Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno do eixo indicado.

a) y = x^2 e y = x, em torno do eixo y. (usar o método do anel e invólucro)

Answer 1

Bom dia!

Como as curvas foram rotacionadas em torno do eixo y,

E que a questão quer que utilize o método das cascas cilíndrica

V = ∫2πxΔh

Observe que rotacionando as funções no eixo y, o valor de Δh achamos com uma reta imaginária cortando paralelamente ao eixo de rotação.

Trace um reta paralela ao eixo de rotação, logo verás:

Δh = x - x²

É a diferença da função superior menos a inferior.
---------------------------------


Já o valor de x, é a distancia da curva ao eixo de rotação. 

d = x - 0

d = x

coloquei zero porque o eixo y é x = 0
---------------------------

O intervalo de integração será a interseção das curvas

x² = x

x² - x = 0

x(x -1) = 0

x = 0

e

x  =1
-----------------------------------

Assim sendo, teremos:


$\\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {x(x-x^2)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {(x^2-x^3)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} )|(0,1) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{1.4-3.1}{3.4} ) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{1}{12} ) \\ \\ V = \frac{ \pi }{6} u.v$
---------------------------------------------

Já no método do anél,

V = ∫ πR²


Onde, devemos traçar uma reta perpendicular ao eixo de rotação para descobrir o valor de r.

ao traçarmos uma reta perpendicular ao eixo y, veremos que agora, x deve variar como variável.

y = x²

x = √y

e

y = x

x  = y
----------------------------

Repare, que o raio maior em relação ao eixo do "x" é a função y = x²

Mas devemos por x isolado,

x = √y

agora, a função inferior ao eixo x é y = x

Ou seja, x = y

Então,

R² = (√y)² - y²

R² = y - y²
------------------

Repare que y varia como constante.

Igualando as funções:

√y = y

(√y)² = y²

y = y²

y² - y = 0

y = 0  ou  y = 1
--------------------


Então,


$\\ V = \pi \int\limits^1_0 {(y-y^2)} \, dy \\ \\ V = \pi ( \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} )|(0,1) \\ \\ V = \pi ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \\ \\ V = \pi ( \frac{1.3-1.2}{2.3}) \\ \\ V = \frac{ \pi }{6} u.v$

Answer 2

Bom dia!

Como as curvas foram rotacionadas em torno do eixo y,

E que a questão quer que utilize o método das cascas cilíndrica

V = ∫2πxΔh

Observe que rotacionando as funções no eixo y, o valor de Δh achamos com uma reta imaginária cortando paralelamente ao eixo de rotação.

Trace um reta paralela ao eixo de rotação, logo verás:

Δh = x - x²

É a diferença da função superior menos a inferior.

---------------------------------

Já o valor de x, é a distancia da curva ao eixo de rotação.  

d = x - 0

d = x

coloquei zero porque o eixo y é x = 0

---------------------------

O intervalo de integração será a interseção das curvas

x² = x

x² - x = 0

x(x -1) = 0

x = 0

e

x  =1

-----------------------------------

Assim sendo, teremos:

---------------------------------------------

Já no método do anél,

V = ∫ πR²

Onde, devemos traçar uma reta perpendicular ao eixo de rotação para descobrir o valor de r.

ao traçarmos uma reta perpendicular ao eixo y, veremos que agora, x deve variar como variável.

y = x²

x = √y

e

y = x

x  = y

----------------------------

Repare, que o raio maior em relação ao eixo do "x" é a função y = x²

Mas devemos por x isolado,

x = √y

agora, a função inferior ao eixo x é y = x

Ou seja, x = y

Então,

R² = (√y)² - y²

R² = y - y²

------------------

Repare que y varia como constante.

Igualando as funções:

√y = y

(√y)² = y²

y = y²

y² - y = 0

y = 0  ou  y = 1

--------------------

Então,