Question

How to solve this cos²2x + cos²5x = 1 ? How many solutions does It have between [ 0 , π/4 ]?​

Answer 1

Resposta:

cos²(2x )+ cos²(5x )= 1 ==>observe a equação que você colocou

cos²(2x) + cos²(5x) = 1  (i)

cos(x+x)=cos²(x)-sen²(x)

cos(2x)=cos²(x)-[1-cos²(x)

cos(2x)=2cos²(x) -1

cos²(x)=[cos(2x)+1]/2

cos²(2x)=[cos(4x)+1]/2  (ii)

cos²(5x)=[cos(10x)+1]/2  (iii)

(ii) em (i)   e (iii) em (i)

[cos(4x)+1]/2 + [cos(10x)+1]/2= 1

cos(4x)+1 +cos(10x)+1 = 2

cos(4x) + cos(10x) =0

-------------------------------------------------------------------

cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sen(a)*sen(b)

cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sen(a)*sen(b)  

Somando ambas identidades, fica:  

cos(a+b)+cos(a-b)=2*cos(a)*cos(b)

Fazendo:  a+b=m  e  a-b=n

2a=(m+n) ==>a=(m+n)/2

2b=m-n ==>b=(m-n)/2

cos(m)+cos(n)=2*cos[(m+n)/2]*cos[(m-n)/2]

------------------------------------------------------------

Fazendo m=10x  e n=4x

cos(10x) + cos(4x)=2*cos[(14x)/2]*cos[(6x)/2]

cos(10x) + cos(4x)=2*cos[7x]*cos[3x]=0

Entre [0, 45°]

cos[7x] =0  ==>x=pi/14 ou x=pi/4-pi/28 =6pi/28=3pi/14

x=pi/14   ou x=3pi/14

cos[3x]=0 ==>x=pi/6  

São 3 soluções ==> x=pi/14   ou x=3pi/14 ou  x=pi/6