Question

HELPPPP :( !!! Alguém pode me explicar por favor???

Answer 1

Nas condições dadas, um possível valor para a expressão fornecida é:

$\Large\text{ \dfrac{a^2-b^2}{4ab} ,}$

que é a resposta contida na alternativa e.

Explicação

É dado que:

$\Large\text{ \text{sen}\,x=\dfrac{2ab}{a^2+b^2} ,}$

com a ≠ 0 e b ≠ 0. Além disso, pede-se o valor da seguinte expressão:

$\Large\text{ \text{cossec}\,2x-\dfrac{1}{2}\cdot \text{tg}\,x .}$

Para a resolução desta questão, vamos usar as seguintes relações:

$\Large\boxed{\text{ \begin{array}{l}\text{sen}^2x+\cos^2x=1,\,\forall x\in\mathbb{R}\\\\\text{tg}\,x=\dfrac{\text{sen\,x}}{\cos x},\,x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\\\\text{sen}\,2x=2\cdot\text{sen}\,x\cdot\cos x,\,\forall x\in\mathbb{R}\\\\\text{cossec}\,x=\dfrac{1}{\text{sen}\,x},\,x\neq k\pi\end{array} }}$

Seja:

$\Large\text{ E=\text{cossec}\,2x-\dfrac{1}{2}\cdot \text{tg}\,x .}$

Daí, usando as relações mencionadas, segue que:

$\Large\text{ \displaystyle\begin{aligned}E&=\text{cossec}\,2x-\dfrac{1}{2}\cdot \text{tg}\,x\\\\&=\frac{1}{\text{sen}\,2x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\text{sen}\,x}{\cos x}\\\\&=\frac{1}{2\text{sen}\,x\cdot\cos x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\text{sen}\,x}{\cos x}\cdot\frac{\text{sen}\,x}{\text{sen}\,x}\\\\&=\frac{1-\text{sen}^2x}{2\text{sen}\,x\cdot\cos x}\\\\&=\frac{\cos^2x}{2\text{sen}\,x\cdot\cos x}\\\\&=\frac{\cos x}{2\cdot\text{sen}\,x}\end{aligned} }$

Logo,

$\Large\text{ E=\dfrac{\cos x}{2\cdot\text{sen}\,x} .}$

Agora, vamos obter o valor de $\cos x$, usando a relação fundamental da trigonometria. Veja:

$\Large\text{ \displaystyle\begin{gathered}\text{sen}^2x+\cos^2x=1\\\\\cos^2x=1-\text{sen}^2x\\\\\cos^2x=1-\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)^2\\\\\cos^2x=1-\frac{4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}\\\\\cos^2x=\frac{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}\\\\\cos^2x=\frac{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}\\\\\cos^2x=\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{(a^2+b^2)^2}\\\\\cos^2x=\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}\\\\\cos x=\pm\sqrt{\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\\\\cos x=\pm\frac{|a^2-b^2|}{a^2+b^2}\end{gathered} }$

Desse modo, decorre que:

$\Large\text{ \displaystyle\begin{aligned}E&=\dfrac{\cos x}{2\cdot\text{sen}\,x}\\\\&=\frac{\pm\dfrac{|a^2-b^2|}{a^2+b^2}}{2\cdot\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}\\\\&=\frac{\pm\dfrac{|a^2-b^2|}{a^2+b^2}}{\dfrac{4ab}{a^2+b^2}}\\\\&=\pm\frac{|a^2-b^2|}{4ab}\end{aligned} }$

Portanto, temos:

$\LargeE=\dfrac{|a^2-b^2|}{4ab}$

ou

$\Large\text{ E=-\dfrac{|a^2-b^2|}{4ab} .}$

Assim sendo, supondo $a^2-b^2>0,$ temos:

$\LargeE=\dfrac{a^2-b^2}{4ab},$

que é um possível valor para a expressão dada.

Resposta: alternativa e.

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado!