Question

Heelp ! Derivadas pela definição (Razão incremental)
f(x) = x² - 3x + 18 e
f(x) = 6x² + 4x

Answer 1

lim        (x+Δx)² - 3(x+Δx) + 18 - (x²-3x+18)
Δx⇒0               Δx

lim        x² + 2xΔx + Δx² - 3x - 3Δx + 18-x² +3x -18
Δx⇒0                     Δx

lim         2xΔx + Δx² -3Δx
Δx⇒0            Δx

lim         Δx(2x + Δx - 3)
Δx⇒0             Δx

lim         2x + Δx - 3
Δx⇒0

2x + 0 - 3
2x - 3
=====================

lim         6(x +Δx)² + 4(x+Δx) - (6x² + 4x)
Δx⇒0                Δx

lim         6(x² + 2xΔx + Δx²) + 4x + 4Δx - 6x² - 4x
Δx⇒0                             Δx

lim         6x² + 12xΔx + 6Δx² + 4x + 4Δx - 6x² - 4x
Δx⇒0                              Δx

lim              12xΔx + 6Δx² + 4Δx
Δx⇒0                         Δx

lim          Δx (12x + 6Δx + 4)
Δx⇒0               Δx

lim        12x + 6Δx + 4
Δx⇒0

12x + 6. 0 + 4
12x + 4

Answer 2

pela definição 
$\boxed{\boxed{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} }}$

f(x+h)  = substitui x da função por x+h

produtos notaveis
$(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2$
...........................................................................................................
f(x) = x² - 3x + 18

$\boxed{ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -3*(x+h) + 18 - (x^2-3x+18)}{h} }$

vou resolver uma parte de cada vez
primeiro tem um sinal de negativo na frente do parenteses
então multiplica tudo que esta dentro do parenteses por -1
com isso irá mudar o sinal

$- (x^2-3x+18) = -x^2+3x-18$

a expressão fica
$\frac{(x+h)^2 -3*(x+h) + 18 -x^2+3x-18}{h} }$

agora resolvendo o quadrado
$(x+h)^2 = x^2+2xh + h^2$

agora fica

$\frac{x^2+2xh+h^2 -3*(x+h) + 18 -x^2+3x-18}{h} }$

multiplicando tudo que esta dentro do parenteses por -3
$-3*(x+h) = -3x -3h$

agora ja podemos começar a resolver
$\frac{x^2+2xh+h^2 -3x-3h + 18 -x^2+3x-18}{h} \\\\= \frac{(x^2 -x^2) + (-3x+3x) + (18-18) + 2xh + h^2 - 3h}{h} \\\\= \frac{2xh+h^2-3h}{h}$

como tem h nos tres termos...colocando h e evidencia
e calculando o limite com h tendendo a 0
$\lim_{h \to0} \frac{h(2x+h-3)}{h}= 2x+h-3 = 2x+0 -3 = \boxed{2x-3 }$

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f(x) = 6x² + 4x

$\lim_{h \to 0} \frac{6*(x+h)^2 + 4(x+h) - (6x^2 + 4x)}{h} \\\\= \lim_{h \to 0} \frac{6*(x^2+2xh+h^2) + 4x+4h - 6x^2 - 4x)}{h} \\\\ \lim_{h \to 0} \frac{6x^2 + 12xh + 6h^2 +4x+4h -6x^2 -4x}{h} \\\\ \lim_{h \to 0} \frac{12xh+6h^2+4h}{h} = \frac{h(12x+6h+4)}{h} = 12x+ 6*0 + 4 = 12x+4$