Question

Havia uma bancada com 10 lâmpadas. Cada uma delas poderia estar ligada ou desligada. De quantas maneiras podem estar as lâmpadas, sendo que não pode haverlâmpadas adjacentes simultaneamente ligadas?
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Answer 1

São 144 maneiras que as lâmpadas podem estar dispostas na mesa.

Chamamos de n o número de lâmpadas na bancada.

A soma das situações será Sn.

Vamos dividir em duas situações:

1ª Situação: A primeira lâmpada está ligada

2ª Situação: A primeira lâmpada está desligada

1ª situação: como a primeira está ligada, a segunda não pode estar ligada, logo sobram Sn₋₂ soluções.

2ª situação: como a primeira está desligada a segunda pode está ligada ou desligada,  logo temos Sn₋₁ soluções.

Assim, o total de soluções pode ser expresso por:

Sn = Sn₋₂ + Sn₋₁

Para calcularmos o valor de S₁₀, basta resolvermos a Sequência de Fibonaci:

Sn =  1  .(1 + √5)ⁿ⁺¹ -  1  . (1 - √5)ⁿ⁺¹

       √5     2             √5       2

S₈ = 55

S₉ = 89

Portanto:

S₁₀ = 55 + 89

S₁₀ = 144