Question

Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado “Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artifi - cial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra. Nessa situação, ilustrada na figura abaixo, a velocidade angular orbital ωA do satélite em torno do Sol será igual à da Terra, ωT.

Para essa condição, determine

a) ωT em função da constante gravitacional G, da massa MS do Sol e da distância R entre a Terra e o Sol;
b) o valor de ωA em rad/s;
c) a expressão do módulo Fr da força gravitacional resultante que age sobre o satélite, em função de G, MS, MT, m, R e d, sendo MT e m, respectivamente, as massas da Terra e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite.

Note e adote: 1 ano ≈ 3,14 x 107 s.
O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M1 e M2, sendo r a distância entre eles, é dado por F = G M1 M2/r2.
Considere as órbitas circulares.

Answer 1

a) A força gravitacional que o Sol aplica na Terra será resultante centrípeta que manterá a sua órbita:
$F_{G} = F_{cp}$ ⇔ $\frac{G M_{S} M_{T} }{ R^{2} }$ = $M_{T}$ω²t R

ω_T = $\sqrt{ \frac{GM_S}{R^3} }$


b) Se ω_A = ω_T, temos:
ω_A = $\frac{2 \pi }{ T_{T} } = \frac{2.3,14}{3,14 . 10^{7} } \frac{rad}{s}$
ω_A = 2,0 . 10⁻⁷ rad/s


c) A força centrípeta é a resultante das forças gravitacionais no satélite L1, força eta que o mantém em órbita:
$F_{r} = F_{S} - F_{T} = F_{cp_L1}$
$F_{r} = \frac{GM_Sm}{(R-d)^2} - \frac{GM_Tm}{d^2}$

$F_{r} = Gm \left[\begin{array}{ccc} \frac{M_S}{(R-d)^2&- \frac{M_T}{d^2} } \\\end{array}\right]$