Question

Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2kg, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de 10cm de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece 4W de potência mecânica. A figura abaixo ilustra o sistema. No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo.

Determine

a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s;
b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s;
c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s;
d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s.

Note e adote: As massas da haste e do eixo do motor devem ser ignoradas.
Não atuam forças dissipativas no sistema.

Answer 1

a) Para determinarmos a energia cinética total E das duas esferas: 

E = P . Δt
E = 4 . 4 (J)
E = 20J

b) A energia cinética de cada esfera:
E₁ = mV²/2 = m/2 (ωR)² = mω²R²/2
10 = 0,2/2 . ω²  (5.10⁻²)²
ω² = 100/25 . 10⁻⁴  (SI) ⇒ ω = 2,0 . 10²rad/s


c) A intensidade F da força entre cada esfera e a haste deverá equilibrar seu peso e ser responsável pela força resultante, que terá uma força tangencial e uma força centrípeta:


1) A força centrípeta é determinada por:
$F_{c_p} =$ m ω² R = 0,2 . 4,0 . 10⁴ . 5,0 . 10⁻² (N)
$F_{c_p} =$ 4,0 . 10²N

2) A força tangencial é determinada por:
P₁ = $F_{t} . V = F_{t}.$ ω R
2,0 = $F_{t}$ . 2,0 . 10² . 5,0 . 10⁻₂
$F_{t} = 0,2 N$

3) O peso de cada esfera é determinada por:
P = mg = 0,2 . 10 (n) = 2,0N 


A força resultante terá intensidade $F_{R}$ determinada por:
$F^2_{R} = F^2_{t} + F^2_{cp}$
$F^2_{R} = (0,2)^2 + (4,0 . 10^2)^2$

Como $F_{t} \ \textless \ \ \textless \ F_{cp}$, resulta em
$F_{R} = F_{cp}$≈ 4,0 . 10²N


d) A aceleração angular média α, é determinada por:
α = Δω/Δt = 2,0 . 10²/5,0  rad/s²
α = 40 rad/s²