Question

Há n livros em uma prateleira. De quantas maneiras os livros podem ser arrumados em ordens diferentes de modo que nenhum deles permaneça em seu lugar original,



se n=3?



se n=4?



se n=5?

Answer 1

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Lilicandy}}}}}$

Exercício envolvendo permutação caótica.

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Fórmula :

P = N! [ 1 - 1/1! + 1/2! - ... ±1/N!]

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Vamos a primeira pergunta , se N = 3 , vamos substituir na fórmula:

P = 3! [ 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! ]

P = 3! [ 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! ]

P = 3! [ 1 - 1/1 + 1/2 - 1/6 ]

P = 3! [ 1/2 - 1/6 ]

MMC(2,6) = 6

P = 3! [ 3-1/6 ]

P = 3! [ 2/6 ]

P = 6 * 2/6

P = 12/6

P = 2

Portanto os livros podem ser arrumados de 2 maneiras diferentes.

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Se N = 4 :

P = 4! [ 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! ]

P = 4! [ 1 - 1/1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 ]

P = 4! [ 1/2 - 1/6 + 1/24 ]

MMC(2,6,24) = 24

P = 4! [ 12 - 4 + 1/24 ]

P = 4! [ 9/24 ]

P = 24 * 9/24

P = 216/24

P = 9

Portanto os livros podem ser arrumados de 9 maneiras diferentes.

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Se N = 5:

P = 5! [ 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! ]

P = 5! [ 1 - 1/1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 ]

P = 5! [ 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 ]

MMC(2,6,24,120) = 120

P = 5! [ 60 - 20 + 5 - 1/120 ]

P = 5! [ 44/120 ]

P = 120 * 44/120

P = 5280/120

P = 44

Portanto os livros podem ser arrumados de 44 maneiras diferentes.

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Espero ter ajudado!