Question

Há dez anos, a razão entre as idades de Maria e Rita era 4/3. Daqui a dois anos, será 10/9. O número de anos corresponde à soma das duas idades.

Answer 1

M ⇒ idade de Maria atualmente

R ⇒ idade de Rita atualmente

$\frac{M-10}{R-10} = \frac{4}{3}$

$3.(M-10)=4.(R-10)$

$3M-30=4R-40$

$3M=4R-40+30$

$3M=4R-10$

$M= \frac{4R-10}{3}$


$\frac{M+2}{R+2} = \frac{10}{9}$

$9.(M+2)=10.(R+2)$

$9M+18=10R+20$

$9M=10R+20-18$

$9M=10R+2$

$9.\frac{4R-10}{3}=10R+2$

$3.(4R-10)=10R+2$

$12R-30=10R+2$

$12R-10R=2+30$

$2R=32$

$R= \frac{32}{2}$

$R=16$


$M= \frac{4R-10}{3}=\frac{4.16-10}{3}=\frac{64-10}{3}=\frac{54}{3}=18$


$M+R=18+16=34$ anos.

Answer 2

i) Sejam $m$ e $r$ as idades, atualmente, de Maria e Rita, respectivamente. Temos, pelo enunciado, as seguintes relações:

$\frac{m-10}{r-10}=\frac43\Rightarrow 4r-40=3m-30\Rightarrow \boxed{4r-3m=10} \\ \\ \frac{m+2}{r+2}=\frac{10}{9}\Rightarrow 10r+20=9m+18\Rightarrow \boxed{10r-9m=-2}$

ii) Podemos, então, montar o sistema de equações abaixo:

$\left\{\begin{array}{l}4r-3m=10\\ 10r-9m=-2\end{array}\right.$

Agora é só resolver o sistema usando o método que achar mais conveniente; farei pelo método da adição:

$\left\{\begin{array}{l}4r-3m=10 \ \ ^{(.-3)}\\ 10r-9m=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-12r+9m=-30\\ 10r-9m=-2\end{array}\right. \\ \\ \mathrm{Somando \ as \ duas \ equa\c{c}\~oes}\\ \\ -2r=-32 \Rightarrow \boxed{r=16}\\ \\ \mathrm{Agora \ precisamos \ substituir} \ r \ \mathrm{em \ uma \ das \ duas \ equa\c{c}\~oes \ para \ achar} \ m \\ \\ 4r-3m=10\Rightarrow 3m=4.16-10\Rightarrow 3m=64-10\Rightarrow 3m=54\\ \\ \boxed{m=18}$

iii) Por fim, basta encontrar $m+r$

$r+m=16+18\\ \\ \boxed{\boxed{r+m=34}}$