Question

Há 10 bolas em uma caixa, todas iguais com exceção da cor, sendo 4 bolas brancas, 6 bolas pretas. Quantos grupos de 4 bolas podem ser feitos?


a) Com todas Brancas ?

b) Duas brancas e duas pretas ?

Answer 1

$C_{(n,p)} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \\ \\ C_{(n,p)} \ \Rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas \\ (permuta\c{c}\~oes \ internas \ descontadas \ por \ p!)$

$\bold{a)} \\ \\ Vamos \ combinar \ n \ = \ 4 \ bolas \ brancas \ em \ p \ = \ 4 \ vagas \ : \\ \\ C_{(4,4)} \ = \frac{4!}{0! \ \cdot \ 4!} \ = \ \boxed{\boxed{1 \ grupo}}$

$\bold{b)} \\ \\ Vamos \ combinar \ n \ = \ 4 \ bolas \ brancas \ em \ p \ = \2 \ vagas \ e \ n \\ = \ 6 \bolas \ pretas \ em \ p \ = \ 2 \ vagas. \\ \\ Juntando \ tudo \ isso \ pelo \ princ\'ipio \ multiplicativo :$

$C_{(4,2)} \ \cdot \ C_{(6,2)} \ = \\ \\ \frac{\not{4!}}{2! \ \cdot \ 2!} \ \cdot \ \frac{6!}{\not{4!} \ \cdot \ 2!} \ = \\ \\ \frac{6!}{(2!)^3} \ = \\ \\ \frac{6 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4} \ \cdot \ 3 \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1}{\not{8}} \ = \\ \\ \boxed{\boxed{90 \ grupos}}$

Answer 2

Podem ser feitos: a) 1 grupo; b) 90 grupos.

Primeiramente, observe que a ordem da escolha não é importante. Então, utilizaremos a fórmula da Combinação, que é definida por:

• $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

a) Queremos formar um grupo com quatro bolas brancas.

Como existem quatro bolas brancas na urna, então poderemos formar apenas um grupo, pois:

$C(4,4)=\frac{4!}{4!0!}$

C(4,4) = 1.

b) Agora, queremos formar um grupo com duas bolas brancas e duas bolas pretas.

Podemos escolher duas bolas brancas entre as quatro disponíveis de:

$C(4,2)=\frac{4!}{2!2!}$

C(4,2) = 6 maneiras.

Podemos escolher duas bolas pretas entre as seis disponíveis de:

$C(6,2)=\frac{6!}{2!4!}$

C(6,2) = 15 maneiras.

Portanto, podemos concluir que o número total de grupos é igual a 15.6 = 90.

Exercício de Análise Combinatória: https://brainly.com.br/tarefa/9016691