Question

h(x) = \frac{2x + 3}{x - 5} ,

a) obtenha a inversa de h(x)



b) obtenha a função h(h-¹ (x)).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Para encontrar a inversa, você só precisa isolar o "x" e depois trocar "h(x)" por "x" e "x" por "h^{-1}(x)":

$h(x)=\frac{2x+3}{x-5}\\\ [h(x)]*(x-5)=2x+3\\ x*h(x)-5*h(x)=2x+3\\-5*h(x)-3=2x-x*h(x)\\-5*h(x)-3=x[2-h(x)]\\5*h(x)+3=x[h(x)-2]\\x=\frac{5*h(x)+3}{h(x)-2}\\h^{-1}(x)= \frac{5x+3}{x-2}$

Na alternativa (b), é só substituir x por toda a função inversa.

$h(h^{-1}(x))=\frac{2*\frac{5x+3}{x-2}+3 }{\frac{5x+3}{x-5}-5 }\\\\\\ h(h^{-1}(x))=\frac{\frac{10x+6}{x-2} +3*\frac{x-2}{x-2} }{\frac{5x+3}{x-5} -5*\frac{x-5}{x-5}}\\\\\\ h(h^{-1}(x))=\frac{\frac{10x+6}{x-2} +\frac{3x-6}{x-2} }{\frac{5x+3}{x-5}+\frac{25-5x}{x-5} }\\\\\\ h(h^{-1}(x))=\frac{\frac{13x}{x-2} }{\frac{28}{x-5} }\\\\\\h(h^{-1}(x))=\frac{13x}{x-2}*\frac{x-5}{28}\\\\\\h(h^{-1}(x))=\frac{13x^{2}-65x}{28x-56}$