Question

(GT) Seja o pentágono PQRST da figura, inscrito na circunferência de centro O. Sabe-se que POQ mede 70 graus. Chamando x e y os ângulos PTS e QRS, respectivamente, determine x + y.​

Answer 1

Resposta:

215°

Explicação passo-a-passo:

Dado que OQ e OP são raios da circunferência, OQ = OP, então OQP é isóceles. Logo  PQO ≡ QPO. Dado isso, os ângulos são iguais a $\frac{180 - 70}{2} = 55$.

Traçando-se OT, OR e OS, criam-se mais três triângulos isósceles; os ângulos X e Y são separados em X1, X2, Y1 e Y2.

Então tem-se cinco triângulos isósceles:

- OQP, cujos ângulos iguais são 55°;

- OQR, cujos ângulos iguais são Y1;

- ORS, cujos ângulos iguais são Y2;

- OST, cujos ângulos iguais são X2;

- OTP, cujos ângulos iguais são X1.

Somando-se cada uma desses 10 ângulos, ocorre que: cada uma aparece duas vezes, e a soma desses ângulos é igual à soma dos ângulos internos de um pentágono.

Lembrando: Soma dos ângulos internos de um polígono convexo, Si, é dada por:

$Si = 180 * (n-2)$, em que n é o número de lados. No nosso caso, si = 180 * 3 = 540°

Ou seja: $2(55 + X_1 + X_2 + Y_1 + Y_2) = 540\\55 + X_1 + X_2 + Y_1 + Y_2 = 270 \therefore X_1 + X_2 + Y_1 + Y_2 = 215$

Mas, não seria X1 + X2 igual ao próprio X? Assim como Y1 e Y2?

Portanto: $X + Y = 215$