Question

GOSTARIA DE AJUDA NA QUESTAO 31

Answer 1

Vou representar a caixa contendo todas as bolas como sendo um conjunto $S$, que contém os conjuntos das bolas pretas $P$, das bolas verdes $V$, das bolas brancas $B$ e das bolas azuis $A$. Usarei a notação $n$ para me referir à quantidade de elementos de cada cor, e a notação $p$ para a probabilidade de cada cor.

Temos duas relações importantes a considerar. Uma é que o número total de bolas na caixa $\text{n}(S)$ é igual à soma das quantidades das bolas de cada cor. A outra, que pode ser obtida através da primeira, é que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a $1$ ou $100\%$. Sendo assim, temos

$\text{(i)}\ \ \ \ \text{n}(P)+\text{n}(V)+\text{n}(B)+\text{n}(A)=\text{n}(S)} \\ \text{(ii)}\ \ \ \text{p}(P)+\text{p}(V)+\text{p}(B)+\text{p}(A)=100\%$

onde as probabilidades de cada cor são obtidas pela razão entre o número de bolas de determinada cor pelo número total de bolas $\text{n}(S)$. Assim

$\text{(iii)}\ \ \ \ \text{p}(P)= \frac{\text{n}(P)}{\text{n}(S)} \\ \\ \text{(iv)}\ \ \ \ \text{p}(V)= \frac{\text{n}(V)}{\text{n}(S)} \\ \\ \text{(v)}\ \ \ \ \ \text{p}(B)= \frac{\text{n}(B)}{\text{n}(S)} \\ \\ \text{(vi)}\ \ \ \ \text{p}(A)= \frac{\text{n}(A)}{\text{n}(S)}$

O enunciado informa que

$\text{(vii)}\ \ \ \ \text{p}(P)=20\% \\ \text{(viii)}\ \ \ \text{p}(V)=10\% \\ \text{(ix)}\ \ \ \ \ \text{n}(A)=15 \text{ bolas} \\ \text{(x)}\ \ \ \ \ \ \text{n}(V)= \frac{1}{4}\text{n}(B) \Rightarrow \text{n}(B)=4 \cdot \text{n}(V)$

Dividindo os dois lados da equação $\text{(x)}$ por $\text{n}(S)$, e utilizando as relações $\text{(iv)}$ e $\text{(v)}$, chegamos a

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\text{n}(B)}{\text{n}(S)}=4 \cdot \frac{\text{n}(V)}{\text{n}(S)} \\ \\ \text{(xi)} \ \ \ \ \ \text{p}(B) = 4\cdot\text{p}(V)$

Substituindo a o valor de $\text{p}(V)$ da equação $\text{(viii)}$ na equação $\text{(xi)}$ acima, chegamos a

$\text{p}(B)=4 \cdot 10\% \Rightarrow \text{p}(B)=40\%$

Substituindo as equações $\text{(vii)}$ e $\text{(viii)}$ e o valor de $\text{p}(B)$ encontrado na equação acima na equação $\text{(ii)}$, temos

$20\%+10\%+40\% + \text{p}(A)=100\% \\ 70\%+\text{p}(A)=100\% \\ \text{p}(A)=100\%-70\% \Rightarrow \text{p}(A)=30\%$

Como já sabemos o valor de $\text{p}(A)$, basta utilizarmos na equação  $\text{(vi)}$ o valor de $\text{p}(A)$ encontrado e o valor de $\text{n}(A)$ disponível na equação $\text{(ix)}$. Dessa forma, chegamos a

$30\%=\frac{15}{\text{n}(S)} \Rightarrow \text{n}(S)=\frac{15}{30\%}=15 \cdot \frac{100}{30} \Rightarrow \text{n}(S)=50\text{ bolas}$

Com os valores já conhecidos de $\text{n}(S)$ e das probabilidades de cada cor das equações $\text{(vii)}$, $\text{(viii)}$ e $\text{(ix)}$, obtemos

da equação $\text{(iii)}$

$20\%=\frac{\text{n}(P)}{50} \Rightarrow \text{n}(P)=20\% \cdot 50 \Rightarrow \text{n}(P)=10 \text{ bolas}$

da equação $\text{(iv)}$

$10\%=\frac{\text{n}(V)}{50} \Rightarrow \text{n}(V)=10\% \cdot 50 \Rightarrow \text{n}(V)=5 \text{ bolas}$

da equação $\text{(v)}$

$40\%=\frac{\text{n}(B)}{50} \Rightarrow \text{n}(B)=40\% \cdot 50 \Rightarrow \text{n}(B)=20 \text{ bolas}$.

Logo, na caixa foram colocadas $50 \text{ bolas}$ no total, sendo $10 \text{ bolas pretas}$, $5 \text{ bolas verdes}$, $20 \text{ bolas brancas}$ e $15 \text{ bolas azuis}$.