Giovana plantou em seu jardim determinado tipo de planta que se reproduz mês a mês, seguindo um curioso padrão. Ao final do primeiro mês, uma planta nova, depois de mais um mês, cinco plantas novas, ao final do terceiro mês, 14 plantas novas, ao final do quarto mês, 30 plantas novas e assim sucessivamente. Quantas planta novas terá ao final do décimo mês?
a) 91
b) 140
c) 204
d) 285
* e) 385 *
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
M-> é o mês
Então está assim
M0= 0
M1=1
M2=5
M3=14
M4=30
Se você perceber, o numero de plantas novas é o resultado do número de plantas + número do mês ao quadrado
M0= 0+0*2= 0
M1= 0+1*2= 1
M2= 1+2*2= 5
M3= 5+3*2= 14
M4= 14+4*2= 30
M5= 30+5*2= 55
M6= 55+ 6*2=91
M7= 91+7*2= 140
M8=140+8*2=204
M9=204+9*2=285
M10=285+10*2= 385
Logo do décimo mês ele terá 385 novas plantas.
Letra e)
Letra E, 385
Explicação passo-a-passo:
Da pra fazer essa questão sem ter que "perceber" o padrão logo de cara, como o amigo ali de cima fez.
● PASSO 1: Anotar a sequência que ele te deu e chamá-la de {An}, o objetivo de tudo será encontrar o termo geral de {An} e aplicar n=10.
◇ Então {An} = 1, 5, 14, 30, 55...
Aparentemente o padrão é confuso pois não segue PA nem PG, para isso que vêm os próximos passos, que funcionam para QUALQUER sequência "estranha" ou que parece ser aleatória.
● PASSO 2: Subtraia o termo posterior do anterior de cada termo na sequência, e anote os resultados.
◇ Ou seja, faça 5-1, depois 14-5, depois 30-14 e por fim 55-30.
◇ Você obterá, portanto: 4, 9, 16. Essa nova sequência é chamada de "progressão de subtração" (pois é obtida pela subtração dos termos da original)
● PASSO 3: Chamar a progressão de subtração de {Bn} e analisá-la.
◇ Portanto: {Bn}= 4, 9, 16...
◇ Ao analisá-la também percebe-se que ela não segue uma PA nem uma PG, portando faça a progressão de subtração dessa progressão {Bn}
(Repetir isso é meio chato, mas vc vai ter que fazer essas progressões de subtração até uma delas formar uma PA ou PG)
● PASSO 4: Fazer a progressão de subtração de {Bn} e chamá-la de {Cn}
◇ Ou seja, fazer 9-4 e 16-9, então você terá
{Cn}= 5, 7
◇Agora perceba que {Cn} é uma PA de razão r=2 e termo inicial c1=5
PASSO 5: Agora você tem {An}, {Bn} e {Cn}, e o objetivo é encontrar o termo geral de {An}, para isso teremos que encontrar o termo geral de {Bn} e {Cn}.
◇ O termo geral de {Cn} é fácil por ela ser apenas uma PA, então é só fazer cn=c1+(n-1).r
◇ Assim você ficará com cn=5+(n-1).2 , ou seja, o termo geral cn=2n+3
PASSO 6: A partir de cn, calcular o termo geral de {Bn}
◇ Para fazer isso temos que recorrer a um relação pouco explorada e conhecida chamada "Relação Telescó que diz que "O termo geral de uma sequência será igual ao seu primeiro termo somado ao somatório de sua progressão se subtração que vai de 1 até n-1" calma, vou traduzir.
◇ Basicamente esta dizendo que:
n-1
bn=b1+ Σck
k=1
◇Como b1 é 4 e ck é 2k+3 (só trocar o n por k), temos que:
n-1
bn= 4+Σ(2k+3)
k=1
◇ Resolvendo o somatório temos que:
bn=n²+2n+1
PASSO 7: Agora que você encontrou o bn, você irá aplicar a relação telescópica novamente, mas agora entre as progressões {An} e {Bn}, com o intuito de encontra o termo geral de {An}
n-1
◇ Portanto, an=a1+ Σbk
k=1
◇ Como a1 (o primeiro termo de {An} ) é igual a 1, e bk é k²+2k+1, temos que
n-1
◇an= Σk²+2k+1
k=1
◇Resolvendo o somatório temos que
an=
◇Finalmente,aplicando n=10 temos que a10=10×9×(19/6+1)+10, a10=385
Espero ter ajudado
