Question

GEOMETRIA! URGENTE..
Um líquido, que ocupa uma altura de 50 cm em um recipiente A, de forma cúbica, será despejado em um recipiente B, também de forma cúbica, cuja medida da diagonal é o dobro da medida da diagonal de A.
A) Calcule a razão entre o volume de A e o de B.
B) Que altura o líquido ocupará no recipiente B ?

Answer 1

Uma informação bastante útil:

A medida da diagonal de $B$ é o dobro da medida da diagonal de $A:$

$\dfrac{d_{_B}}{d_{_A}}=2$


Só que diagonal tem dimensão de comprimento. Como as medidas dos lados também têm dimensão de comprimento, então

$\dfrac{\ell_{_B}}{\ell_{_A}}=2$

onde $\ell$ é a medida do lado de cada recipiente.


A) A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os lados:

$\dfrac{V_{_A}}{V_{_B}}=\dfrac{\ell_{_A}^3}{\ell_{_B}^3}\\\\\\ \dfrac{V_{_A}}{V_{_B}}=\left(\dfrac{\ell_{_A}}{\ell_{_B}}\right )^3\\\\\\ \dfrac{V_{_A}}{V_{_B}}=\dfrac{1}{\left(\frac{\ell_{B}}{\ell_{A}}\right)^3}\\\\\\ \dfrac{V_{_A}}{V_{_B}}=\dfrac{1}{2^3}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{V_{_A}}{V_{_B}}=\dfrac{1}{8} \end{array}}$


O volume do recipiente $B$ é oito vezes maior que o volume do recipiente $A.$


B) O volume de líquido que havia do recipiente $A$ é

$V=\ell_{_A}^2\cdot h_{_A}=\ell_{_B}^2\cdot h_{_B}~~~~~~(h_{_A}=50\mathrm{~cm})$


Queremos descobrir a altura $h_{_B}}$ ocupada pelo líquido no recipiente $B:$

$\ell_{_A}^2\cdot 50=\ell_{_B}^2\cdot h_{_B}\\\\ \left(\dfrac{\ell_{_B}}{2}\right )^{\!\!2}\cdot 50=\ell_{_B}^2\cdot h_{_B}\\\\\\ \dfrac{\ell_{_B}^2}{4}\cdot 50=\ell_{_B}^2\cdot h_{_B}\\\\\\ \ell_{_B}^2\cdot \dfrac{50}{4}=\ell_{_B}^2\cdot h_{_B}\\\\\\ h_{_B}=\dfrac{50}{4}\mathrm{~cm}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}h_{_B}=12,5\mathrm{~cm} \end{array}}$