Question

Geometria Plana FUVEST

(Fuvest - SP) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60° e sen(α) = √3 / 4.

A) Determine o seno de OAB em função de AB;

B) Calcule AB.

Answer 1

Olá João


A & B - 

Sabendo que o raio da circunferência mede 1 unidade, então o segmento OB também mede 1 unidade.

Chamaremos de C o vértice do triângulo maior que não foi nomeado na imagem.

O segmento OC também medirá 1 unidade, portanto, os ângulos OBC e OCB são congruentes 

$\mathsf{O\^BC=O\^CB=\gamma}$

Sabendo que a soma dos ângulos internos de 1 triângulo é igual a 180º, podemos encontrar o ângulo $\mathsf{\gamma}$

$\mathsf{\beta+2\gamma=180\º}\\\\\mathsf{60\º+2\gamma=180\º}\\\\\mathsf{2\gamma=120\º}\\\\\mathsf{\gamma=60\º}$

Portanto o ângulo OBA medirá, $\mathsf{O\^BA=180\º-60\º=120\º}$

Aplicando a lei dos senos no triângulo OBA

$\mathsf{\dfrac{\overline{BA}}{sen(\alpha)}=\dfrac{\overline{OA}}{sen(O\^BA)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\overline{BA}}{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{\overline{OA}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\overline{BA}\sqrt{\diagup\!\!\!\!3}}{\diagdown\!\!\!\!\!2}=\dfrac{\overline{OA}\sqrt{\diagup\!\!\!\!3}}{\diagdown\!\!\!\!\!4}}\\\\\\\mathsf{2\overline{BA}=\overline{OA}}$

Pela lei dos cossenos, temos

$\mathsf{\overline{OA}^2=\overline{OB}^2+\overline{BA}^2-2\overline{OB}\cdot\overline{BA}\cdot cos(120\º)}\\\\\mathsf{(2\overline{BA})^2=1^2+\overline{BA}^2-2\cdot1\cdot\overline{BA}\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)}\\\\\\\mathsf{4\overline{BA}^2=1+\overline{BA}^2+\overline{BA}}\\\\\mathsf{3\overline{BA}^2-\overline{BA}-1=0}$

Multiplique ambos os lados por 3

$\mathsf{3\overline{BA}^2-\overline{BA}-1=0}\\\\\mathsf{9\overline{BA}^2-3\overline{BA}-3=0}\\\\\\\mathsf{\Big(3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}\Big)^2-\dfrac{1}{4}-3=0}\\\\\\\mathsf{\Big(3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}\Big)^2-\dfrac{1}{4}-\dfrac{12}{3}=0}\\\\\\\mathsf{\Big(3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}\Big)^2-\dfrac{13}{4}=0}\\\\\\\mathsf{\Big(3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{13}{4}}\\\\\\\mathsf{\sqrt{\Big(3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}\Big)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{13}{4}}}$

$\mathsf{3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}}$

Vamos desconsiderar a raiz negativa, já que estamos trabalhando com medida

$\mathsf{3\overline{BA}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}}\\\\\\\mathsf{3\overline{BA}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}+\dfrac{1}{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\overline{BA}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{6}}}$

Para encontrar o seno de OAB em função de AB, utilizaremos a lei dos senos


$\mathsf{\dfrac{\overline{OB}}{sen(O\^AB)}=\dfrac{\overline{BA}}{sen(\alpha)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{sen(O\^AB)}=\dfrac{\overline{BA}}{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{4\overline{BA}}=sen(O\^AB)}}$



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