Question

(geometria espacial-prisma)
Um prisma hexagonal regular tem 6√3 cm³ de volume e 6 cm de aresta lateral. Calcule a aresta da base. 

Answer 1

Bom, para calcularmos o volume usamos a seguinte fórmula:

$V = A_{b} \cdot h \\\\ 6\sqrt{3} = A_{b} \cdot 6 \\\\ A_{b} = \frac{6\sqrt{3}}{6} \\\\ \boxed{A_{b} = \sqrt{3}}$


Agora, se o prisma é hexágonal, para sabermos a área da base, se dividirmos ele, resultará em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo é a seguinte:

$A = \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Como são 6 triângulos, multiplicamos por 6:

$A = \frac{6l^{2}\sqrt{3}}{4} \\\\ \sqrt{3} = \frac{6l^{2}\sqrt{3}}{4} \\\\ \sqrt{3} \cdot 4 = {6l^{2}\sqrt{3}$

$4\sqrt{3} = {6l^{2}\sqrt{3}$

$6l^{2} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\\\ 6l^{2} = 4 \\\\ l^{2} = \frac{4}{6} \\\\ l = \sqrt{\frac{4}{6}} \\\\ l = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \boxed{\boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}}$

Answer 2

A aresta da base desse prisma mede √6/3 cm.

O volume de um prisma hexagonal é dado pelo produto entre a área da base (hexágono) e sua altura. Neste caso, já conhecemos o volume e a altura do prisma, falta calcular a aresta do hexágono.

V = Ab.h

6√3 = Ab.6

Ab = √3 cm²

Um hexágono pode ser visto como seis triângulos equiláteros de lado L juntos, a área do triângulo equilátero é dada por L²√3/4, logo, a área do hexágono será:

A = 3.L²√3/2

Substituindo A, temos:

√3 = 3L²√3/2

3.L² = 2

L² = 2/3

L = √2/√3

L = √6/3 cm

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