Question

Geometria espacial - 20p / Um cálice com a forma de um cone contém V cm³ de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o liquido recobre exatamente a cereja a altura de 4cm a partir do vértice do cone determine o valor de V.

Answer 1

Bom, é um exercício complicado, pois não envolve somente geometria espacial...

Primeiramente, vamos encontrar o volume da esfera... de diâmetro 2 cm, logo raio 1 cm...

$V_e=\frac{4}{3}\ \pi*r^3\\\\ V_e = \frac{4}{3}\ \pi*1^3\\\\ \boxed{\boxed{V_e=\frac{4}{3}\pi\ cm^3}}$

A volume "V", é o volume do cone menos o da esfera...

$V=V_c-V_e\\\\ \boxed{V=V_c-\frac{4}{3}\pi\ }$

Agora, entra semelhança de triângulos, para conseguirmos encontrar o raio da base do cone.

Olhe na imagem que deixarei em anexo.

Pelo triângulo, podemos dizer que R=CD ; DE = BE = 1cm ; AE=AD-DE ; AD = 4cm

O triângulo AEB é retângulo, por isso, podemos encontrar o comprimento de AB por Pitágoras

$(AE)^2=(AB)^2+(BE)^2\\\\ 3^2=(AB)^2+1^2\\\\ (AB)^2 = 8\\\\ \boxed{AB=2\sqrt{2}\ cm}$

Agora, por semelhança de triângulos... ABE / ADC

$\frac{CD}{AD}=\frac{EB}{AB}\\\\ CD=\frac{1*4}{2\sqrt{2}}\\\\ CD = \frac{4}{2\sqrt{2}}\\\\ CD=\sqrt{2}\ cm$

Se sabemos que CD = R, o raio do cone é:

$\boxed{R=\sqrt{2\ cm}}$

Agora, matamos o exercício.... O volume V será:

$V = V_c-V_e\\\\ V=\frac{1}{3}\pi\ r^2*h-\frac{4}{3}\pi\\\\ V=\frac{1}{3}\pi\ (\sqrt{2})^2*4-\frac{4}{3}\pi\\\\ V=\frac{1}{3}\pi\*2*4-\frac{4}{3}\pi\\\\ V=\frac{8}{3}\pi-\frac{4}{3}\pi\\\\ \boxed{V=\frac{4}{3}\pi\ cm^3}$

Por coincidência, o volume que tinha antes é o mesmo da esfera..


Obs: a imagem não ficou perfeita, mas dá pra ter uma base na resolução....

Answer 2

Resposta:

4pi\3

Explicação passo-a-passo:

Volume novo do cone deve ser igual ao volume antigo, visto que vocÊ nao acrescentou um novo líquido, mas sim, uma nova coisa (cereja) que fez com que se aumentasse a atura do líquido. Pense em um copo de refrigerante que você coloca limão por exemplo. Haverá a mesma quantidade de refrigerante, contudo sua altura irá aumentar. Com base nisso, tem -se a relação:

Volume antigo do cone é igual ao novo

Área da basex altura\ 3 = área da base x altura \ 3

Pi. Raio ao quadrado . Altura \ 3:  Pi. Raio da cereja ao quadradox 4 \ 3

Pi. raio ao quadrado . altura \ 3:  = Pi. 1x4\3

Corta os pi ficando e o denominado 3

Raio ao quadrado. altura = 4

Agora ----

O volume do cone antigo era

Pix Raio ao quadrado x altura \ 3

Como sabemos que  raio ao quadrado x altura é igual a 4 fica

PI x 4 \3