Question

[Geometria analítica - vetores no plano cartesiano]

Dados os pontos A (-1,2), B (3,-1) e C (-2,4), determinar D (x,y) de modo que $\overrightarrow{CD}= \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

Gabarito: $D(0, \frac{5}{2})$

Gostaria do método de solução, principalmente a parte do sistema.

Answer 1

Seja $D(x,y)$ o ponto em questão. Queremos

$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\D-C=\frac{1}{2}(B-A)\\\\(x,y)-(-2,4)=\frac{1}{2}[(3,-1)-(-1,2)]\\\\(x-[-2],y-4)=\frac{1}{2}(3-[-1],-1-2)\\\\(x+2,\,y-4)=\frac{1}{2}(3+1,\,-3)\\\\(x+2,\,y-4)=\frac{1}{2}(4,\,-3)\\\\(x+2,\,y-4)=(2,-\frac{3}{2})$

Sabemos que dois pontos são iguai se suas coordenadas correspondentes forem iguais. Logo:

$x+2=2~~~\Leftrightarrow~~~\boxed{\boxed{x=0}}\\\\y-4=-\frac{3}{2}~~~\Leftrightarrow~~~y=-\frac{3}{2}+4=-\frac{3+8}{2}~~~\Leftrightarrow~~~\boxed{\boxed{y=\frac{5}{2}}}$

Portanto, o ponto D é dado por

$\boxed{\boxed{D\bigg(0,\,\frac{5}{2}\bigg)}}$