Question

Geometria Analítica: Uma reta passa pelos pntos (1,p) e (p,-5), interceptando um eixo no ponto de ordenada 7. Qual é o valor de p?

Answer 1

ax + b = y
ax + b = y

Substituímos as coordenadas de cada ponto:

a + b = p
ap + b= -5

Mulktiplicando a primeira equação por -1 ficaremos com:

-a -b = -p
ap + b = -5

Somamos os termos semelhantes das equações :
-a -b = -p
ap + b = -5
..................
ap -a = -p -5

Colocando a em evidência:

a( p - 1) = -p -5 e daí:

a= -p-5/( p - 1 )

mas temos que a + b = p

-p-5/( p -1) + b = p
b= p + p+5/(p-1)



Se intercepta um eixo num ponto de ordenada 7 então P (0, 7)

ax + b = y

[-p-5/( p -1)]x + p + p+5/(p-1) = y note que x=0 e y=7. Substituimos

[-p-5/( p -1)] . 0 + p + p+5/(p-1) = 7

p +( p+5)/(p-1) = 7

[p(p-1)/(p-1)] + ( p +5)/( p-1) = 7( p-1)/(p-1) efetuamos mmc. Vamos dispensar os denominadores:

p(p-1) + ( p +5)= 7( p-1)
p*2 - p + p + 5 = 7p -7

p*2 - 7p + 12 = 0


delta = ( -7)*2 - 4.1.12
49 - 48

1

p = (-b + - rqd de delta)/2.a rqd= raiz quadrada

p= (7 + - 1)/2

p = 8/2 = 4

p = 6/2 = 3

Answer 2

-Primeiramente, vamos nomear os pontos.

A(1,p)
B(p,-5)
C(0,7) 

- Se a reta passa pelos três pontos, logicamente, os pontos são colineares, ou seja, estão alinhados. Diante disso, vamos calcular o determinante dos três pontos para que possamos encontrar 'p'

Montando um determinante 3x3:

$Det \left[\begin{array}{ccc}1&p&1\\p&-5&1\\0&7&1\end{array}\right]=0 \\ (1.-5.0)+(p.p.1)+(1.7.1)-(1.-5.1)-(p.7.1)-(p.1.0)=0\\ 0+p^{2}+7+5-7p+0=0\\ p^{2}-7p+12=0$

- Vejamos que o det resultou em uma equação de segundo grau, vamos calcular!

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = -7² - 4 . 1 . 12 
Δ = 49 - 4. 1 . 12
Δ = 1

2) Aplicando Bhaskara:

p = (-b +- √Δ)/2a           
p' = (--7 + √1)/2.1          p'' = (--7 - √1)/2.1
p' = 8 / 2                        p'' = 6 / 2
p' = 4                             p'' = 3

(1,4) e (4,-5) ou (1,3) e (3,-5)

- Portanto, p pode assumir dois valores, são eles: 4 ou 3