Question

Geometria Analítica

Uma circunferência de centro C(3,-1) passa pelo ponto A(6,3). Escreva a equação geral da circunferência.

Answer 1

Temos que uma circunferência de centro $C(3,-1)$ passa pelo ponto$A(6,3)$, a partir desses dois dados, a questão pede a equação geral dessa circunferência. Observe que já temos o centro dessa circunferência, ou seja, o que nos falta é apenas o raio. Como ponto $A(6,3)$ tem que fazer parte dessa circunferência, então vamos calcular a distância desde o centro até esse ponto, pois fazer isso encontraremos o raio.

• Na geometria plana nos foi ensinado que o raio é um segmento que parte do centro e toca um ponto da circunferência.

→ Calculando a distância entre os dois pontos:

$d_{C,A}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$

Substituindo os dados na fórmula:

$d_{C,A}=\sqrt{(3-6)^2+( - 1-3)^2} \\ d_{C,A} = \sqrt{( - 3) {}^{2} + ( - 4) {}^{2} } \\ d_{C,A} = \sqrt{9 + 16} \\ d_{C,A} = \sqrt{25} \\ d_{C,A} = 5$

Pronto, sabemos que o raio é igual a 5. Vamos juntar todas essas informações na equação reduzida de uma circunferência e depois expandi-la, para assim obter a geral:

$C(3,-1) \: \: e \: \: r = 5 \\ (x - a) {}^{2} + (y - b) {}^{2} = r {}^{2} \\ (x - 3) {}^{2} + (y - ( - 1)) {}^{2} = 5 {}^{2} \\ (x - 3) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 25 \\ x {}^{2} - 6x + 9 + y {}^{2} + 2y + 1 = 25 \\ \boxed{ x {}^{2} + y {}^{2} - 6x + 2y -1 5 = 0}$

Espero ter ajudado