Question

Geometria Analítica

Dadas as equações paramétricas de um plano $\pi$

x = -1 + 2α - 3β
y= 1 + α + β
z= α

Obtenha uma equação geral de$\pi$

Answer 1

Forma 1. Bem rápida, para a hora da prova.. :-P

A coordenada $z$ já está isolada na 3ª equação:

$z=\alpha$


Substituindo $\alpha$ por $z$ na 2ª equação, temos

$y=1+z+\beta\\\\ \beta=y-z-1$


Substituindo $\alpha$ e $\beta$ na 1ª equação:

$x=-1+2z-3(y-z-1)\\\\ x=-1+2z-3y+3z+3\\\\ x=-3y+5z+2\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x+3y-5z-2=0 \end{array}}$


Forma 2.

As equações paramétricas do plano são

$\pi:~\left\{ \begin{cc} \begin{array}{l} x=-1+2\alpha-3\beta\\\\ y=1+\alpha+\beta\\\\ z=\alpha \end{array}&~~~~~~\alpha,\;\beta\in \mathbb{R}. \end{array} \right.$


Para $\alpha=\beta=0,$ verificamos que

$A=(-1,\;1,\;0)\in \pi.$

Das equações paramétricas de $\pi,$ tiramos que os vetores

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,\;1,\;1)~~\text{ e }~~\overrightarrow{\mathbf{w}}=(-3,\;1,\;0)$

geram o plano $\pi.$

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Encontrando um vetor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ normal ao plano $\pi,$ fazendo o produto vetorial de $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ por $\overrightarrow{\mathbf{w}}:$
$\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \overrightarrow{\mathbf{w}}=\det\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ 2&1&1\\\\ -3&1&0 \end{array} \right]\\\\\\ =(1\cdot 0-1\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+((-3)\cdot 1-2\cdot 0)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(2\cdot 1-(-3)\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =-1\overrightarrow{\mathbf{i}}-3\overrightarrow{\mathbf{j}}+5\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =(-1,\;-3,\;5)$


Tomando como vetor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,\;-3,\;5),$ devemos ter

(o vetor normal é ortogonal a qualquer vetor do plano $\pi$ )

$\pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot \overrightarrow{AX}=0\\\\ \pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot (X-A)=0\\\\ \pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot [(x,\;y,\;z)-(-1,\;1,\;0)]=0\\\\ \pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot (x+1,\;y-1,\;z)=0\\\\ \pi:~(-1,\;-3,\;5)\cdot (x+1,\;y-1,\;z)=0$


Efetuando o produto escalar, obtemos

$\pi:~(-1)(x+1)-3(y-1)+5z=0\\\\ \pi:~-x-1-3y+3+5z=0\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \pi:~-x-3y+5z+2=0 \end{array}}$