Question

Geometria Analítica
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Answer 1

Aqui a reta $r$ é dada como a interseção entre dois planos:

$r:~\left\{\! \begin{array}{l} x+y=2\\\\ x=y+z \end{array} \right.~~\Leftrightarrow~~\left\{\! \begin{array}{l} x+y-2=0\\\\ x-y-z=0 \end{array} \right.$


Os vetores normais dos planos que formam $r$ são respectivamente

$\overrightarrow{\mathbf{n}}_1=(1,\,1,\,0)~~\text{ e }~~\overrightarrow{\mathbf{n}}_2=(1,\,-1,\,-1)$

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Para encontrar o vetor diretor de $r\,,$ precisamos calcular o produto vetorial de $\overrightarrow{\mathbf{n}}_1$ por $\overrightarrow{\mathbf{n}}_2:$

$\overrightarrow{\mathbf{n}}_1\wedge \overrightarrow{\mathbf{n}}_2=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 1&1&0\\ 1&-1&-1 \end{array} \right ]\\\\\\ =\big(1\cdot (-1)-(-1)\cdot 0\big)\overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(1\cdot 0-1\cdot (-1)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}+\big(1\cdot (-1)-1\cdot 1\big)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =(-1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(1)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(-2)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ \therefore~~\overrightarrow{\mathbf{n}}_1\wedge \overrightarrow{\mathbf{n}}_2=(-1,\,1,\,-2)$


Então, podemos tomar como vetor diretor da reta $r$ o vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,\,1,\,-2).$

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Não é difícil encontrar um ponto que pertença à reta. Por exemplo, podemos fazer

$x=1~~\text{ e }~~y=1$

para tornar verdadeira a equação do primeiro plano, e substituindo esses valores na equação do segundo plano, obtemos

$1=1+z\\\\ z=0$

Assim, sabemos que o ponto $P(1,\,1,\,0)\in r.$


Já podemos obter o vetor $\overrightarrow{PA}:$

$\overrightarrow{PA}=A-P\\\\ \overrightarrow{PA}=(0,\,2,\,1)-(1,\,1,\,0)\\\\ \overrightarrow{PA}=(0-1,\,2-1,\,1-0)\\\\ \overrightarrow{PA}=(-1,\,1,\,1)$

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Equação vetorial para a reta $r:$

$r:~X=P+\lambda \overrightarrow{\mathbf{v}}\\\\ r:~X=(1,\,1,\,0)+\lambda\,(-1,\,1,\,-2)~~~~~\text{com }\lambda \in\mathbb{R}$

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Queremos encontrar os pontos $X$ de $r\,,$ de forma que

$\|\overrightarrow{XA}\|=3$


Como $P,\,X\in r\,,$ da equação vetorial tiramos que

$X-P=\lambda\,\overrightarrow{\mathbf{v}}\\\\ \overrightarrow{PX}=\lambda\,(-1,\,1,\,-2)\\\\ \overrightarrow{PX}=(-\lambda,\,\lambda,\,-2\lambda)~~~~\text{para algum }\lambda \in \mathbb{R}~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Por soma de vetores, temos

$\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{XA}=\overrightarrow{PA}\\\\ \overrightarrow{XA}=\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PX}\\\\ \overrightarrow{XA}=(-1,\,1,\,1)-(-\lambda,\,\lambda,\,-2\lambda)\\\\ \overrightarrow{XA}=(-1+\lambda,\,1-\lambda,\,1+2\lambda)$


Calculando o módulo do vetor acima, devemos ter

$\|\overrightarrow{XA}\|=3\\\\ \|\overrightarrow{XA}\|^2=9\\\\ \|(-1+\lambda,\,1-\lambda,\,1+2\lambda)\|^2=9\\\\ (-1+\lambda)^2+(1-\lambda)^2+(1+2\lambda)^2=9\\\\ (1-2\lambda+\lambda^2)+(1-2\lambda+\lambda^2)+(1+4\lambda+4\lambda^2)=9\\\\ 6\lambda^2+3=9\\\\ 6\lambda^2=9-3\\\\ 6\lambda^2=6\\\\ \lambda^2=1$

$\lambda=\pm 1\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \lambda_1=-1~~\text{ e }~~\lambda_2=1 \end{array}}$

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$\bullet\;\;$ Para $\lambda=-1:$

$X=(1,\,1,\,0)+\lambda\,(-1,\,1,\,-2)\\\\ X=(1,\,1,\,0)+(-1)\cdot (-1,\,1,\,-2)\\\\ X=(1,\,1,\,0)+(1,\,-1,\,2)\\\\ X=(2,\,0,\,2)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} X_1=(2,\,0,\,2) \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $\lambda=1:$

$X=(1,\,1,\,0)+\lambda\,(-1,\,1,\,-2)\\\\ X=(1,\,1,\,0)+(1)\cdot (-1,\,1,\,-2)\\\\ X=(1,\,1,\,0)+(-1,\,1,\,-2)\\\\ X=(0,\,2,\,-2)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} X_2=(0,\,2,\,-2) \end{array}}$