Question

Gente preciso de ajuda!!! Por favor.
O coeficiente angular da reta tangente à curva xy-2y=2 no ponto de abscissa 3 é:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{dy}{dx}=-2~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto, utilizaremos derivadas.

Seja a curva $xy-2y=2$. Devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva em $x=3$.

Calculamos a derivada em ambos os lados da equação:

$(xy-2y)'=(2)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de um produto de funções é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada implícita da função $y=y(x)$ é calculada ao considerarmos: $y'=\dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$(xy)'-(2y)'=(2)'$

Aplique a regra do produto

$(x)'\cdot y+x\cdot (y)'-[(2)'\cdot y+2\cdot (y)']=(2)'$

Aplique a regra da potência, da constante e calcule a derivada implícita

$1\cdot y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}-\left[0\cdot y+2\cdot \dfrac{dy}{dx}\right]=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}-2\cdot \dfrac{dy}{dx}=0$

Fatore a expressão

$y+(x-2)\cdot \dfrac{dy}{dx}=0$

Subtraia $y$ em ambos os lados da equação

$(x-2)\cdot \dfrac{dy}{dx}=-y$

Divida ambos os lados da equação por $(x-2)$

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x-2}$

Então, substituímos o ponto de abscissa $x=3$.

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y(3)}{3-2}$

Para calcularmos o valor de $y(3)$, basta substituir este ponto de abcissa na equação da curva:

$3\cdot y(3)-2y(3)=2$

Multiplique e some os valores

$y(3)=2$

Substituindo este resultado na expressão anterior, teremos

$\dfrac{dy}{dx}=-2$

Este é o coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto $x=3$.