Question

Um objeto de massa m = 2,2 Kg desliza pela superfície horizontal lisa de uma bancada com velocidade de
2,0 m/s. Ela então bate e comprime uma mola cuja constante K = 220 N/m. (3,0 pontos)

a) Determine a energia cinética no instante em que o objeto bate na mola e no instante em que o objeto
chega à distância “d” total de compressão,

b) Determine o trabalho realizado pela força da mola quando o objeto percorre a distância “d” do item “a”,

c) Determine a distância “d” correspondente à compressão da mola.

d) Determine a energia potencial no instante que bate na mola e na distância “d”.

Answer 1

a) A energia cinética no instante em que o objeto bate na mola é igual a 2,2 J e no instante em que o objeto chega à distância “d” total de compressão é igual a 0 J.

b) O trabalho realizado pela força da mola quando o objeto percorre a distância “d” é igual a -2,2 J.

c) A distância “d” correspondente à compressão da mola é igual a 0,14 m ou 14 cm.

d) A energia potencial no instante que a massa bate na mola é igual a 0 J e na distância “d” é igual a 2,2 J.

         Este problema é uma aplicação dos conhecimentos sobre trabalho e energia. Envolve a transformação de energia cinética em energia potencial elástica da mola.

         Se um objeto desliza por uma superfície horizontal lisa (sem atrito) haverá conservação de energia mecânica. No caso, a soma da energia com a energia potencial elástica.

         Vamos recordar alguns conhecimentos e equações úteis para a solução. Primeiramente, a energia cinética de um objeto de massa m e velocidade v é dada por:

         $\boxed{\largeE_c = \dfrac{m \cdot v^2}{2} } \ \sf (I) \ \text{(Energia cin\' etica \' e a energia associada ao movimento.)}$

         Quando uma mola, de constante elástica k é comprimida (ou esticada) de uma quantidade d, ela acumula uma energia potencial elástica dada por:

                  $\boxed{\largeE_k = \dfrac{k \cdot d^2}{2} } \ \sf (II) \ \text{(Energia potencial el\' astica da mola.)}$

         O teorema trabalho-energia nos fornece que o trabalho de uma força resultante atuando em um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. Matematicamente:

                          $\boxed{\large\tau = \Delta E_c} \ \sf (III) \ \text{(Teorema trabalho - energia.)}$

a)

Anotando os dados:

• m = 2,2 kg.

• v = 2,0 m/s.

e inserindo-os na equação (I),

                     $\large\text{ E_c = \dfrac{m \cdot v^2}{2} = \dfrac{2{,}2 \cdot 2{,}0}{2} }$

                           $\boxed{\boxed{\largeE_c = 2{,}2 \sf \: J }} \ \text{Ao tocar a mola.}$

⇒ obtemos que a energia cinética no instante em que o objeto bate na mola é 2,2J pois nesse instante ele possui velocidade igual a 2 m/s.

⇒ Quando o objeto chega à distância "d" total de compressão, a velocidade será nula e por consequência a energia cinética também será nula (0 J).

                          $\boxed{\boxed{\largeE_c = 0 \sf \: J }} \ \text{Com a mola comprimida da dist\^ancia ``d''.}$

b) Utilizando a equação (III) e o resultado acima,

                  $\large \tau = \Delta E_c = ( E_{(cf)} - E_{(ci)} ) = 0 - 2,2$

                             $\boxed{\boxed{\large \tau = - 2,2 \sf \: J }}$

         O trabalho realizado pela força da mola quando o objeto percorre a distância “d” é igual a -2,2 J (negativo pois a força atua no sentido contrário ao deslocamento).

c)

         Para encontrar a distância "d" correspondente à compressão da mola, basta observarmos que quando a velocidade do objeto chega a zero nessa posição a energia mecânica total estará na forma de energia potencial elástica e, então:

                        $\largeE_k = \dfrac{k \cdot d^2}{2} \Longrightarrow 2{,}2 = \dfrac{220 \cdot d^2}{2}$

                         $\large\text{ 2{,}2 = 110 \cdot d^2 \Longrightarrow d^2 = \dfrac{2{,}2}{110} = 0{,}02 }$

                                       $\boxed{\boxed{\large d \simeq 0{,}14 \sf \: m}}$

ou 14 cm.

d)

         A energia potencial no instante em que o objeto bate na mola é nula (0 J), uma vez que a mola não está deformada, e na distância “d” é igual a 2,2 J conforme discutido acima para se encontrar a distância “d”.

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