Question

Gente me ajuda ai urgente
f(x) x^x²

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = x {}^{x {}^{2} }$

Para derivar essa função, vamos aplicar o logarítmo natural em ambos os lados da função:

$\ln(y) = \ln(x {}^{x {}^{2} } )$

Agora devemos lembrar da propriedade de logarítmos que nos diz:

$\ln(a) {}^{n} = n \: . \: \ln(a)$

Aplicando essa regra na função:

$\ln(y) = x {}^{2} . \ln(x)$

Agora basta derivar ambos os lados da equação:

$\frac{d}{dx} \ln(y) = \frac{d}{dx}(x {}^{2} . \ln(x))$

Aplicando a regra da cadeia, já que y = f(x), ou seja, y é uma função de "x":

$\frac{1}{y} . \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} . \ln(x)) \\ \\ \frac{ \frac{dy}{dx} }{y} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} . \ln(x)) \: \: \: \:$

Aplicando a regra do produto no segundo termo:

$\frac{ \frac{dy}{dx} }{y} = \frac{d}{dx}x {}^{2} . \ln(x) + x {}^{2} . \frac{dy}{dx} . \ln(x) \\ \\ \frac{ \frac{dy}{dx} }{y} = 2x. \ln(x) + x {}^{2} . \frac{1}{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{ \frac{dy}{dx} }{y} = 2x. \ln(x) + x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = y.(2x. \ln(x) + x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como sabemos, o y é igual a função inicial, ou seja, y = x^x^2, então:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{dy}{dx} = x {}^{x {}^{2} } .(2x. \ln(x) + x) }}}$

Espero ter ajudado