Question

gente ajuda pf!

PUC PR Sendo X1, X2, X3, X4 e X5 as raízes do polinômio,
P(x)= 2x5 - 3x4 + 10x3 - 15x2 +8x - 12, considere os numeros a1, a2, a3, a4 e a5 associados às raízes desse polinômio, tal que



(segue imagem em anexo)

a) -17
b) -8,5
c) -7,75
d) 1,5
e) 23

gabarito a​

Answer 1

O maior desafio nesse exercício está em encontrar  as raízes desse polinômio de quinto grau.

Se você tem uma calculadora científica em seu poder, não fica tão difícil inferir que:

$X_1 = 2 \cdot j$

$X_2 = -2 \cdot j$

$X_3 = \dfrac{3}{2}$

$X_4 = j$

$X_5 = -j$

Onde: $j = \sqrt{-1}$, a constante complexa.

Agora, no caso em que não seja permitido o uso de calculadora, teria de usar alguma ferramenta de cálculo numérico para chegar a esses valores.

Um outro método seria por tentativa e erro. Como o exercício sugere que algumas raízes podem ser complexas, então poderia tentar j primeiro:

$P(j) = 2 \cdot j^5 - 3 \cdot j^4 + 10 \cdot j^3 - 15 \cdot j^2 + 8 \cdot j - 12$

$P(j) = 2 \cdot j - 3 \cdot 1 + 10 \cdot (-j) - 15 \cdot (-1) + 8 \cdot j - 12$

$P(j) = 2 \cdot j -3 - 10 \cdot j + 15 + 8 \cdot j - 12 = 0$

Ou seja, x = j é uma raíz. Então, você repitiria esse processo para verificar que x = -j, x = 2j e x = -2j também são raízes.

Tendo 4 raízes, resta apenas uma a descobrir. Reescrevendo o polinômio a partir das suas raízes:

$P(x) = K \cdot (x - X_1) \cdot (x - X_2) \cdot (x - X_3) \cdot (x - X_4) \cdot (x - X_5)$

$P(x) = K \cdot (x - j) \cdot (x + j) \cdot (x - 2\cdot j) \cdot (x + 2\cdot j) \cdot (x - R)$

Onde K é um fator constante e R é a raíz faltante:

$P(x) = K \cdot (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 4) \cdot (x - R)$

$P(x) = K \cdot (x^4 + 5 \cdot x^2 + 4) \cdot (x - R)$

$P(x) = K \cdot (x^5 - R \cdot x^4 + 5 \cdot x^3 - 5 \cdot R x^2 + 4 \cdot x - 4 \cdot R)$

Agora comparando com o polinômio original fica simples perceber que K = 2 e:

$- K \cdot R = -3$

$2 \cdot R = 3$

$R = \dfrac{3}{2}$

Assim, descobre as cinco raízes.

Ok, conhecendo os valores das raízes, podemos calcular os coeficientes:

$a_1 = (X_1)^2 = (2 \cdot j)^2 = 4 \cdot (-1) = -4$

$a_2 = (X_2)^2 = (-2 \cdot j) = (-2)^2 \cdot j^2 = 4 \cdot (-1) = -4$

$a_3 = X_3 = \dfrac{3}{2}$

$a_4 = (X_4)^2 = j^2 = -1$

$a_5 = (X_5)^2 = (-1 \cdot j)^2 = (-1)^2 \cdot j^2 = -1$

Agora, podemos calcular o somatório:

$k = \sum_{n=1}^5 2 \cdot a_n = 2 \cdot \left(-4 -4 + \dfrac{3}{2} -1 -1\right)$

$k = -8 -8 + 3 -2 -2 = -20 + 3 = -17$

Alternativa A