Question

Galera ajuda nessa questão de integrais triplas . por favor!

Answer 1

$\bullet\;\;$ O plano $z=y$ é o plano que contém o eixo $x$ e forma um ângulo de $45^{\circ}$ com o plano $xy,$

$\bullet\;\;$ O cilindro parabólico é gerado pela translação da parábola do plano $xy$ de equação $y=1-x^{2},$ na direção do eixo $z.$


Analisando o sólido geometricamente, determinamos os extremos de integração:

$-1\leq x\leq 1\\ \\ 0\leq y \leq 1-x^{2}\\ \\ 0\leq z \leq y$

$\bullet\;\;$ Escrevendo a integral iterada, na ordem $dz\,dy\,dx:$
$I=\displaystyle\iiint\limits_{G}{y\,d\mathbf{V}}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^{2}}\int\limits_{0}^{y}{y\,dz\,dy\,dx}$

Não vou fazer mudança de coordenadas, pois a função integranda e os extremos de integração são funções polinomiais, o que facilita muito o cálculo da integral:

$I=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^{2}}\int\limits_{0}^{y}{y\,dz\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^{2}}{y\cdot z|_{0}^{y}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^{2}}{y\cdot (y-0)\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{0}^{1-x^{2}}{y^{2}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{1}{\left.\left(\dfrac{y^{3}}{3} \right )\right|_{0}^{1-x^{2}}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{(1-x^{2})^{3}}{3}\,dx}$


A função a ser integrada em $x$ é uma função par, integrada sobre um intervalo simétrico. Portanto, podemos reescrever a integral como

$I=2\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{(1-x^{2})^{3}}{3}\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\int\limits_{0}^{1}{(1-x^{2})^{3}\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\int\limits_{0}^{1}{(1-3x^{2}+3x^{4}-x^{6})\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\cdot \left.\left(x-x^{3}+\dfrac{3x^{5}}{5}-\dfrac{x^{7}}{7} \right )\right|_{0}^{1}\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\cdot \left(1-1^{3}+\dfrac{3\cdot 1^{5}}{5}-\dfrac{1^{7}}{7} \right )\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\cdot \left(\diagup\!\!\!\! 1-\diagup\!\!\!\! 1+\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{7} \right )\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\cdot \left(\dfrac{21}{35}-\dfrac{5}{35} \right )\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{16}{35}\\ \\ \\ =\dfrac{32}{105}$