Question

(G1 - col. naval 2017) Sejam os conjuntos A  {9, 27, 45, , 423, 441},  B {18, 36, 54, ,432, 450},   C {3, 9, 15, , 141, 147}   e D {6, 12, 18, , 144, 150}.   Define-se PK como sendo produto de todos os elementos do conjunto K. Nas condições apresentadas, é correto afirmar que a expressão A B 10 C D P P 243 P P     é igual a

Answer 1

Segue as alternativas:

a) 1000 b)500 c)100 d)10 e)1

A questão pede para determinarmos $\frac{ P_{A} P_{B}}{ P_{C} P_{D} } * 243^{-10}$.

Primeiramente, podemos perceber que o conjunto A ={9,27,45,...,423,441} é uma Progressão Aritmética de razão 18. Então, vamos descobrir quantos elementos tem esse conjunto:

Da fórmula da PA temos que an = a1 + (n-1)r
Então, 441 = 9 + (n-1)*18
441 = 9 + 18n - 18
441 = -9 +18n
450 = 18n
n = 25. 

Portanto, temos 25 elementos no conjunto A.

Da mesma forma, vamos verificar quantos elementos possui o conjunto B,C e D:

Conjunto B

450 = 18 + (n-1)18
450 = 18 + 18n -18
450 = 18n
n = 25

Conjunto C

147 = 3 + (n-1)6
147 = 3 + 6n - 6
147 = -3 + 6n
150 = 6n
n = 25

Conjunto D 

150 = 6 + (n-1)6
150 = 6 + 6n - 6
150 = 6n
n = 25

Agora nos resta calcular $\frac{ P_{A} P_{B}}{ P_{C} P_{D} } * 243^{-10}$.

Substituindo os valores na equação, temos que:
$\frac{ P_{A} P_{B}}{ P_{C} P_{D} } * 243^{-10}$ = $\frac{9*27*45*...*423.441}{3*9*15*...*144*150} * \frac{18*36*54*...*432*450}{6*12*18*...*144*150} * 243^{-10}$

Perceba que se dividirmos cada número do numerador pelo denominador dará como resultado 3. Por exemplo: 9/3 = 3 , 27/9 = 3, 441/147 = 3. Ou seja, teremos 3*3*3*..*3 = 3^{25}. Da mesma forma 18/6 = 3, 36/12 = 3, 450/150 = 3. O que resulta em 3*3*3*...*3 = 3^{25}.

Logo, e lembrando que 243 = 3^{5}, temos que:

$\frac{ P_{A} P_{B}}{ P_{C} P_{D} } * 243^{-10}$ = $\frac{9*27*45*...*423.441}{3*9*15*...*144*150} * \frac{18*36*54*...*432*450}{6*12*18*...*144*150} * (3^{5})^{-10}$ = 3^{25} * 3^{25} * (3^{5})^{-10} = 3^{50} * 3^{-50} = 1

Letra e)