Question

(G1 - cftmg 2018)  O Hindu Bhaskara, ao demonstrar o Teorema da Pitágoras, utilizou uma figura em que ABCD e EFGH são quadrados, conforme mostrado abaixo. Se este quadrado ABCD  tem lado de medida 3 e o ângulo ACH mede  60º então, a área de EFGH  em cm² é:
a)    332  b)    3-32c)    3-3d)    3.1-32

Answer 1

As alternativas são:

a) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

b) $3 -\frac{\sqrt{3}}{2}$

c) 3 - √3

d) $3(1-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Solução

Como o ângulo ACH mede 60° e AC = √3, então no triângulo ΔACH temos que:

$cos(60) =\frac{CH}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2} =\frac{CH}{\sqrt{3}}$

$CH =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Além disso, no mesmo triângulo, temos que:

$sen(60) =\frac{AH}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{AH}{\sqrt{3}}$

$AH =\frac{3}{2}$

Perceba que para calcular a área do quadrado EFGH precisamos da medida do lado desse quadrado.

Observe que CH = AE.

Assim, EH = AH - AE ∴ $EH =\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.

Logo, a área do quadrado EFGH é igual a:

$S = (\frac{3-\sqrt{3}}{2})^2$

$S =\frac{9-6\sqrt{3}+3}{4}$

$S =\frac{12-6\sqrt{3}}{4}$

$S =3-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$S = 3(1-\frac{\sqrt{3}}{2})$ cm².

Portanto, a alternativa correta é a letra d).