Question

g(x) = (5x3 + 2x)10 e nesse caso que tem um expoente na funçao?

Answer 1

Regra da cadeia

Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis. Então

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}}$

Ou seja, podemos derivar composições de funções com essa regra
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$g(x)=(5x^{3}+2x)^{10}$

Considere as duas funções:

$p(x)=x^{10}\\q(x)=5x^{3}+2x$

Veja que

$p(q(x))=(q(x))^{10}=(5x^{3}+2x)^{10}$

Portanto:

$\boxed{\boxed{g(x)=p(q(x))}}$

Então, podemos derivar g(x) pela regra da cadeia.
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Vamos achar as derivadas de p(x) e q(x) isoladamente:

$p'(x)=\frac{d}{dx}x^{10}=10x^{9}\\\\q'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{3}+2x)=5\cdot3x^{2}+2=15x^{2}+2$

Logo:

$g'(x)=p'(q(x))\cdot q'(x)\\\\g'(x)=10(q(x))^{9}\cdot(15x^{2}+2)\\\\\boxed{\boxed{g'(x)=10(5x^{3}+2x)^{9}\cdot(15x^{2}+2)}}$