Question

(FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem catetos AB = 3 e AC = 4.
No cateto AB toma-se um ponto P equidistante do ponto A e da reta BC.

Qual é a distância AP ?

Por favor, não quero só a resposta - porque já tenho o gabarito e quero entender onde estou errando - se não for pedir demais, gostaria que desenhassem. =)
 
Obrigada desde já! <3

Answer 1

De acordo com o enunciado, o ponto P deverá ser equidistante do ponto A e da reta BC. Isto significa que o ponto P será centro de uma circunferência que será tangente ao lado BC em um ponto que vamos chamar de Q e tangente ao lado CA, no ponto A e, como consequência, PA será igual a PQ.
Para que isto ocorra, o ponto P deverá estar na bissetriz do ângulo BCA. Então, o ângulo PCA terá como medida a metade do valor do ângulo BCA [1].
Ora, o valor do ângulo BCA pode ser obtido se aplicarmos a função trigonométrica tangente, pois conhecemos o valor dos dois catetos do triângulo ABC:
tg BCA = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg BCA = AB ÷ AC
tg BCA = 3 ÷ 4 = 0,75
O arco tangente de 0,75 é igual a um ângulo de 36,87º
Então, 
∡ BCA = 36,87º
E. como vimos acima, em [1]:
∡ PCA = ∡ BCA ÷ 2
∡ PCA = 36,87º ÷ 2
∡ PCA = 18,435º

Se considerarmos agora o triângulo PCA, poderemos obter o valor do cateto AP, que é a distância solicitada pela questão. Para isto, vamos utilizar a função trigonométrica tangente:
tg ∡ PCA = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg 18,435º = AP ÷ AC
0,333 = PA ÷ 4
AP = 0,333 × 4
AP = 1,333...

R.: A distância AP mede 1,333...

Em anexo, desenho solicitado.