FUVEST-SP Se 4^16 · 5^25 = a · 10^n, com 1 ≤ a < 10, então n é igual a:a) 24b) 25c) 26d) 27e) 28
Soluções para a tarefa
Estou respondendo novamente esta questão por recomendação do moderador Lukio. É que, inicialmente, eu havia respondido sem levar em conta o intervalo previsto para "a", que, no caso é: 1 ≤ a < 10.
E, na resposta anterior, eu havia encontrado que "n" seria igual a "25". No entanto, alertado pelo Lukio de que o intervalo previsto para o "a" teria que ser levado em conta, então é isso o que vamos fazer agora.
A questão é esta:
4¹⁶ * 5²⁵ = a * 10ⁿ ------ ou, o que é a mesma coisa:
a * 10ⁿ = (2²)¹⁶ * 5²⁵ ----- isolando "a", teremos:
a = [(2²)¹⁶ * 5²⁵] / 10ⁿ ------ desenvolvendo, teremos:
a = [2³² * 5²⁵] / 10ⁿ ------ mas 2³² = 2⁷*2²⁵ . Assim:
a = [2⁷ * 2²⁵ * 5²⁵] / 10ⁿ ---- ou, o que é a mesma coisa:
a = [2⁷ * (2*5)²⁵] / 10ⁿ
a = [2⁷ * 10²⁵] / 10ⁿ ----- veja que temos uma divisão de potência da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:
a = 2⁷ * 10²⁵⁻ⁿ ----- como 2⁷ = 128, teremos:
a = 128 * 10²⁵⁻ⁿ ------ agora vamos colocar isso dentro do intervalo previsto para "a", que é este: 1 ≤ a < 10 . Então:
1 ≤ 128 * 10²⁵⁻ⁿ < 10 ------ vamos aplicar logaritmo (base 10) a todos os membros desta desigualdade:
log₁₀ (1) ≤ log₁₀ (128*10²⁵⁻ⁿ) < log₁₀ (10)
Note que logaritmo de "1" (em qualquer base) é igual a zero. E logaritmo de 10, na base 10, é igual a "1". Assim, ficaremos da seguinte forma
0 ≤ log₁₀ (128 * 10²⁵⁻ⁿ) < 1 ----- transformando o produto em soma, temos:
0 ≤ log₁₀ (128) + log₁₀ (10²⁵⁻ⁿ) < 1 ---- passando o expoente (25-n) multiplicando, ficaremos assim:
0 ≤ log₁₀ (128) + (25-n)*log₁₀ (10) < 1 ---- como log₁₀ (10) = 1, teremos:
0 ≤ log₁₀ (128) + (25-n)*1 < 1 ---- ou apenas:
0 ≤ log₁₀ (128) + 25 - n < 1----- vamos passar "25" do membro do meio para cada um dos outros membros, com o que ficaremos assim:
0 - 25 ≤ log₁₀ (128) - n < 1 - 25 ----- desenvolvendo, teremos:
- 25 ≤ log₁₀ (128) - n < - 24 ---- vamos passar também o log₁₀ (128) para os outros dois membros, com o que ficaremos assim:
- log₁₀ (128) - 25 ≤ - n < - log₁₀ (128) - 24 ---- vamos multiplicar toda a desigualdade por (-1), com o que iremos ficar da seguinte forma (veja que quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o sentido dela muda, ou seja, o que é > passa pra < e vice-versa) :
25 + log₁₀ (128) ≥ n > 24 + log₁₀ (128) ----- note que a desigualdade, após ter sido multiplicada por "-1", passou a ser equivalente a isto:
24 + log₁₀ (128) < n ≤ 25 + log₁₀ (128)
Note que log₁₀ (128) = 2,107 (aproximadamente). Logo:
24 + 2,107 < n ≤ 25 + 2,107 ------ ou, o que é a mesma coisa:
26,107 < n ≤ 27,107
Agora note: queremos uma resposta inteira. E a única resposta inteira no intervalo acima só poderá ser n = 27, pois não há nenhuma outra resposta inteira possível que não seja n = 27.
Logo, a resposta correta para esta questão será:
n = 27 <--- Esta é a resposta. Opção "d".
Valeu, Lukio, pela oportunidade que me foi dada para poder responder novamente esta questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Apesar de já terem respondido, creio que minha resolução é mais simples.
Resposta:
D)27
Explicação passo-a-passo:
A questão quer que transformemos 4^16 x 5^25 em uma notação científica (que é uma expressão do tipo a x 10^n, com 1 ≤ a < 10)
Então, temos que manipular a expressão de maneira a formar uma multiplicação de um número a por 10^n.
Primeiramente, sabemos que 10 = 5x2 e que 4 = 2^2. Com isso em mente, vamos manipular a expressão da seguinte forma:
4^16 x 5^25
(2^2)^16 x 5^25
2^32 x 5^25
Pronto! Agora, tendo em mente que 2^n x 5^n = (2x5)^n = 10^n, basta manipularmos os expoentes de forma a chegarmos nessa situação. Assim, temos:
2^32 x 5^25
2^7 x 2^25 x 5^25
2^7 x 10^25
128 x 10^25
Quase lá! Nesse caso, temos que n = 25, porém o a é maior que 10 (não satisfazendo a condição 1 ≤ a < 10). Assim temos que manipular o 128 de forma a transformá-lo em 1,28. Veja:
128 x 10^25
1,28 x 10^2 x 10^25
1,28 x 10^27
E pronto! Temos que a = 1,28 e n = 27. Gabarito: D)
Espero ter ajudado. Críticas são bem-vindas ;)