Question

(Fuvest-SP) Calcule a medida x indicada na figura abaixo:

Answer 1

$Vou \ chamar \ de : \\ A \ \rightarrow \ O \ v\'ertice \ de \ baixo \ onde \ est\~ao \ os \ 30 ^\circ; \\ B \ \rightarrow \ O \ v\'ertice \ de \ baixo \ onde \ est\~ao \ os \ 90 ^\circ; \\ C \ \rightarrow \ O \ v\'ertice \ de \ cima...$

$Fa\c{c}a \ essas \ demarca\c{c}\~oes \ no \ desenho. \\ Da\'i, \ vo\c{c}\^e \ ver\'a \ que \ x \ = \ BC...$

$Por \ fim, \ fa\c{c}a \ a \ demarca\c{c}\~ao \ J \, \ que \ \'e \ onde \ os \ 100 \ m \ 'acabam' \\ (Saindo \ do \ v\'ertice \ A...)$

$Temos \ \rightarrow \ \\ \\ BC \ = \ x; \\ AJ \ = \ 100 \ m...$

$No \ \Delta JBC \ \rightarrow \\ \\ tg(60^\circ) \ = \ \frac{BC}{JB} \\ \\ \sqrt{3} \ = \ \frac{BC}{JB}$

$No \ \Delta ABC \ \rightarrow \\ \\ tg(30^\circ) \ = \ \frac{BC}{AB} \ \rightarrow \ Mas \ AB \ = \ AJ \ + \ JB \ : \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \ = \ \frac{BC}{(AJ \ + \ JB)} \ \rightarrow \ AJ \ = \ 100 \ m: \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \ = \ \frac{BC}{(100 \ + \ JB)} \\ \\ \sqrt{3} \ = \ \frac{3 \ . \ BC}{(100 \ + \ JB)} \ \rightarrow \ Mas : \ \sqrt{3} \ = \ \frac{BC}{JB} \\ \\ \frac{BC}{JB} \ = \ \frac{3 \ . \ BC}{(100 \ + \ JB)}$

$\frac{1}{JB} \ = \ \frac{3}{(100 \ + \ JB)} \\ \\ 100 \ + \ JB \ = \ 3 \ . \ JB \\ \\ 100 \ = \ 3 \ . \ JB \ - \ JB \\ \\ 100 \ = \ 2 \ . \ JB \\ \\ JB \ = \ \frac{100}{2} \\ \\ JB \ = \ 50 \ m$

$Substituindo \ na \ primeira \ rela\c{c}\~ao \ \rightarrow \\ \\ \sqrt{3} \ = \ \frac{BC}{JB} \\ \\ \sqrt{3} \ = \ \frac{BC}{50} \\ \\ BC \ = \ 50 \ . \ \sqrt{3} \ m \ \rightarrow \ E \ como \ x \ = \ BC : \\ \\ \boxed{\boxed{x \ = \ 50 \ . \ \sqrt{3}\ m }}$