Question

(Fuvest-SP – adaptada) Um retângulo tem perímetro 32 e lados x e y (x < y). Retira-se um quadrado de lado x desse retângulo. Os valores de x e y para que a área do retângulo remanescente seja máxima são, nessa ordem, iguais a:? me ajudeeem por favor!

Answer 1

$2.x \ + \ 2.y \ = \ 32 \ (per\'{\i}metro \ do \ ret\^angulo)$

$x \ + \ y \ = 16$

$A \ \'area \ do \ ret\^angulo \ (A) \ \'e \ : \\ \\ A \ = x.y$

$Juntando \ as \ duas \ f\'ormulas \ : \\ \\ y \ = 16 - x \\ \\ A \ = x.(16 - x) \\ \\ A = \ 16.x - x^{2}$

$O \ quadrado \ retirado \ tem \ a \ \'area \ : \\ \\ A' \ = \ x^{2}$

$O \ ret\^angulo \ remanescente \ tem \ \'area \ (A'') \ : \\ \\ A'' \ = A \ - A' \\ \\ A'' \ = 16.x - x^{2} - x^{2} \\ \\ A'' \ = -2.x^{2} + 16.x$

$Essa \ \'area \ remanescente \ \'e \ dada \ por \ uma \ fun\c{c}\~ao \ de \ 2\ ^\circ \ grau.$

$A \ \'area \ ser\'a \ m\'axima \ quando \ x \ for \ m\'aximo. \ Ou \ seja : \\ \\ x \ = \ Xv \ (abscissa \ do \ v\'ertice) \\ \\ x \ = \ \frac{-b}{2.a}$

$A'' \ = -2.x^{2} + 16.x \\ \\ Analisando, \ tem-se \ que : a \ = \ -2 \ e \ b \ = 16 \\ \\ x \ = \ \frac{-16}{(2.-2)} \\ \\ x \ = \ \frac{-16}{-4} \\ \\ x \ = \ 4$

$Por \ fim \ : \ x \ + \ y \ = 16 \\ \\ 4 \ + \ y \ = 16 \\ \\ y \ = \ 16 \ - \ 4 \\ \\ y \ = \ 12$