(Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são:
Soluções para a tarefa
os pontos AB, AC e BC formem um triangulo equilateral
BC = AB = AC
valor dos segmentos
AB² = (Ax - Bx)² + (Ay - By)²
AB² = (1 - 3)² + (2 - 2)² = 4
AB = BC = AC = 2
As coordenadas de C(x,y) podem ser encontradas pelo o calculo
das distâncias AC e BC.
dAC² = (x - 1)² + (y - 2)² = 4
dBC² = (x - 3)² + (y - 2)² = 4
(x - 1)² = (x - 3)²
x² - 2x + 1 = x² - 6x + 9
4x = 8
x = 2
(x - 1)² + (y - 2)² = 4
1 + (y - 2)² = 4
(y - 2)² = 3
y - 2 = ±√3
y' = 2 - √3 não serve
y" = 2 + √3
Resposta: (2; 2 + √3)
No que diz respeito a cálculos envolvendo o plano cartesiano, temos que a resposta certa é: (2; 2 + √3)
Isso porque pelo texto do enunciado da questão temos um ângulo de rotação de 60º, em que os pontos AB, AC e BC formem um triangulo equilátero.
Nesse sentido, vamos ter que:
BC = AB = AC
Assim, o valor dos segmentos será de:
AB² = (Ax - Bx)² + (Ay - By)²
AB² = (1 - 3)² + (2 - 2)² = 4
AB = BC = AC = 2
Agora vamos calcular as coordenadas de C (x,y) para assim saber as distâncias AC e BC.
Logo, temos:
dAC² = (x - 1)² + (y - 2)² = 4
dBC² = (x - 3)² + (y - 2)² = 4
(x - 1)² = (x - 3)²
x² - 2x + 1 = x² - 6x + 9
4x = 8
x = 2, sendo essa a coordenada do eixo das abscissas.
(x - 1)² + (y - 2)² = 4
1 + (y - 2)² = 4
(y - 2)² = 3
y - 2 = ±√3
y' = 2 - √3 não serve
y" = 2 + √3, sendo esse o eixo das ordenadas.
Assim, temos que o par ordenado será dado por: (2; 2 + √3).
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espero ter ajudado!
