Question

(Fuvest) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos. a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5?

Answer 1

$\mathsf{a)}$

Sendo $\mathsf{15 \ = \ 5 \ \cdot \ 3}$, o último número desse conjunto o cujo número $\mathsf{15}$ é divisor deve possuir os fatores $3 \ \& \ 5.$

Artifícios práticos: 

$\rightarrow$ Os divisores de $\mathsf{3}$ têm seus algarismos somados resultando em um divisor de $\mathsf{3}$;

$\rightarrow$ Os divisores de $\mathsf{5}$ acabam com  $\mathsf{0 \ | \ 5}$.

Vamos percorrer o conjunto $A$ procurando números que satisfaçam essas propriedades, sendo que, percorrendo decrescentemente, o primeiro que satisfaça ambos é o último número divisível por $\mathsf{15}$.

$\mathsf{\overbrace{\mathsf{\underbrace{\mathsf{1992}}_{final \ : \ 2}}}^{1 \ + \ 9 \ + \ 9 \ + \ 2 \ = \ 21}; \ \overbrace{\mathsf{\underbrace{\mathsf{1990}}_{final \ : \ 0}}}^{1 \ + \ 9 \ + \ 9 \ + \ 0 \ = \ 19}; \ \dots \ ; \ \boxed{\mathsf{\overbrace{\mathsf{\underbrace{\mathsf{1980}}_{final \ : \ 0}}}^{1 \ + \ 9 \ + \ 8 \ + \ 0 \ = \ 18}}}}$

Logo, o primeiro é o próprio $\mathsf{15}$ e o último é $\mathsf{1980 \ \dots}$ sabendo que esses múltiplos crescem em uma razão de soma de $\mathsf{15}$, temos a PA:

$\mathsf{1980 \ = \ \ 15 \ + \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ 15 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{132 \ = \ 1 \ + \ n \ - \ 1 \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{n \ = \ 132}}}}$

$\mathsf{b)}$ Em $A$, os múltiplos de $\mathsf{3}$ vão dele próprio ao $\mathsf{1992}$ e os de $\mathsf{5}$ dele próprio ao $\mathsf{1990}$:

$\mathsf{1992 \ = \ \ 3 \ + \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ 3 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{664 \ = \ 1 \ + \ n \ - \ 1 \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{n \ = \ 664}}}}$

$\mathsf{1990 \ = \ \ 5  \ + \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ 5 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{398 \ = \ 1 \ + \ n \ - \ 1 \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{n \ = \ 398}}}}$

Só que perceba que quando contamos os múltiplos de $\mathsf{3}$ acabamos por contar os múltiplos de $\mathsf{3 \ \& \ 5}$ (ou seja, os múltiplos de $\mathsf{15}$) e vice-versa. Ou seja, contamos repetidamente os múltiplos de $\mathsf{15}$ duas vezes.

Para desconsideramos isso:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{664}}_{m\'ultiplos \ de \ 3} \ + \ \underbrace{\mathsf{398}}_{m\'ultiplos \ de \ 5} \ - \ \underbrace{\mathsf{192}}_{m\'ultiplos \ de \ 15 \ contados \ 2 \ vezes} \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{930}}}}$

Por fim, sendo $\mathsf{A \ = \ \{n \ \in \ \mathbb{N}\ \ | \ 1 \ \leq \ n \ \leq \ 1993\}}$, lgoo esse conjunto possui $\mathsf{1993}$ membros.

Como temos $\mathsf{930}$ múltiplos de $\mathsf{3 \ \& \ 5}$, então os não múltiplos são:

$\mathsf{1993 \ - \ 930 \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{1063 \ n\~ao \ m\'ultiplos \ de \ 3 \ nem \ de \ 5!}}}}$