Question

(FUVEST) Qual é o valor de x, x>1, tal que: log 2 na base x = log X na base 4?

Answer 1

$\mathsf{\log_x \ 2 \ = \ \log_4 \ x\ \rightarrow}$

Aplicando a propriedade do expoente na base :

$\mathsf{\log_x \ 2 \ = \ \log_{_{2^2}} \ x\ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\log_x \ 2 \ = \ \dfrac{\log_2 \ x}{2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{2 \ \cdot \ \log_x \ 2 \ = \log_2 \ x \ \rightarrow}$

Por mudança de base, na base decimal :

$\mathsf{2 \ \cdot \ \dfrac{\log \ 2}{\log \ x} \ = \dfrac{\log \ x}{\log \ 2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{2 \ \cdot \ \log^2 \ 2 \ = \ log^2 \ x \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\sqrt{2 \ \cdot \ \log^2 \ 2} \ = \ \sqrt{log^2 \ x} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{|\sqrt{2}| \ \cdot \ |\log \ 2| \ = \ |\log x| \ \rightarrow}$

Sendo $\mathsf{x \ > \ 1 :}$

$\mathsf{\sqrt{2} \ \cdot \ \log \ 2 \ = \ \log x \ \rightarrow}$

$\mathsf{\log \ 2^{^{\sqrt2}} \ = \ \log \ x \ \therefore} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{x \ = \ 2^{^\sqrt2}}}}$