Question

(fuvest) O valor de "m" na expressão 9 . (2m)! = 2^m . m! . 1 . 3 . 5 . 7 . ... . (2m + 1) é igual a quanto?

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:   https://brainly.com.br/tarefa/8119562

_______________


Resolver a equação

$\mathsf{9\cdot (2m)!=2^m\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2m+1)\qquad\quad\mathsf{(i)}}$


Note que

•   $\mathsf{2^m\cdot m!=\underbrace{\mathsf{(2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2)}}_{m~fatores}\cdot \,(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot m)}$

$\mathsf{2^m\cdot m!=(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\cdot \ldots \cdot (2\cdot m)}\\\\ =\mathsf{2^m\cdot m!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2m\qquad\quad(ii)}$

(o produto dos pares até $\mathsf{2m}$)


•   $\mathsf{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2m+1)=\big[1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2m-1)\big]\cdot (2m+1)\qquad(ii)}$


•   $\mathsf{(2m)!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots\cdot (2m-1)\cdot (2m)}$

$\mathsf{(2m)!=\big[2\cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots\cdot (2m)\big]\cdot \big[1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2m-1)\big]}\\\\ \mathsf{(2m)!=2^m\cdot m!\cdot \big[1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2m-1)\big]}$


Multiplicando os dois lados por $\mathsf{(2m+1),}$ obtemos

$\mathsf{(2m)!\cdot (2m+1)=2^m\cdot m!\cdot \big[1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (2m-1)\big]\cdot (2m+1)}$


Substituindo em $\mathsf{(i),}$ a equação a ser resolvida fica

$\mathsf{9\cdot \;\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!(2m)!=\;\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!(2m)!\cdot (2m+1)}\\\\ \mathsf{9=2m+1}\\\\ \mathsf{9-1=2m}\\\\ \mathsf{8=2m}\\\\ \mathsf{m=\dfrac{8}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{m=4} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta}$