Question

(FUVEST)numa progressão geometrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois ultimos vale 9. Calcule a razão da progressão

Answer 1

Da questão, nós temos:

a₁ + a₂ = 1
a₃ + a₄ = 9

Podemos representar o segundo, terceiro e quarto termos dessa P.G. em função de a₁ e da razão q:

a₂ = a₁ . q
a₃ = a₁ . q²
a₄ = a₁ . q³

Por fim, teremos:

a₁ + a₁ . q = 1 ⇒ a₁ . (1 + q) = 1 ⇒ a₁ = 1 / (1 + q)

a₁ . q² + a₁ . q³ = 9 ⇒ a₁ . (q² + q³) = 9 ⇒ a₁ = 9 / (q² + q³)

Já que:

a₁ = 1 / (1 + q)
a₁ = 9 / (q² + q³)

Temos:

1 / (1 + q) = 9 / (q² + q³)

q² + q³ = 9 . (1 + q)

q² . (1 + q) = 9 . (1 + q)

q² = 9

q = ± √9

q = 3

A razão têm de ser positiva, pois os quatros termos são positivos e se pusermos – 3 em a₁ = 1 / (1 + q), obtemos um valor negativo para a₁.

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Answer 2

❑ A razão da progressão geométrica é 3.

❑ Podemos chamar o primeiro termo da progressão de x. Se a razão for q, nossa progressão é dada por:

$x, \: xq, \: x {q}^{2} , \: x {q}^{3}$

➯ Vamos formar um sistema de equações com os dados do problema:

• "A soma dos dois primeiros termos vale 1"

Os primeiros termos são x e xq. Logo:

x + xq = 1

Coloque o x em evidência:

• x (1 + q) = 1

• "A soma dos dois últimos termos vale 9"

Logo:

$x {q}^{2} + x{q}^{3} = 9$

colocando em evidência:

$x {q}^{2} (1 + q) = 9$

Colocando (1+q) em evidência:

$\boxed{1 + q = \dfrac{9}{x {q}^{2} } }$

Substituindo o valor encontrado na primeira equação:

$x \cdot \dfrac{9}{x {q}^{2} } = 1$

Corta x com x:

$\frac{9}{ {q}^{2} } = 1$

Passando para o outro membro:

$9 = {q}^{2}$

$q = \sqrt{9}$

$\boxed{q = 3}$

❑ Leia mais sobre P.G. em:

• https://brainly.com.br/tarefa/21707572
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