Question

FUVEST) Determine as soluções da equação (2 cos² x + 3 sen x) (cos² x - sen² x) = 0 que estão no intervalo [0,2π].

Answer 1

Olá!!

Bem, podemos pensar que, para $x \ \cdot \ y \ = \ 0$, ou  $x \ = \ 0$ ou $y \ = \ 0$, pois assim zeramos a equação (lembrando que $\dfrac{0}{0}$ é uma indeterminação, logo, quaisquer $x \ = \ 0$ ou $y \ = \ 0$ são válidos.)

Mas antes de resolvermos o produto$\dots$ aplicamos a definição de arco duplo pelas fórmulas de Werner  :

Arco duplo $\rightarrow$ $2 \ \cdot \ x \ = \ (x \ + \ x)$

$\cos(x \ + \ x) \ \rightarrow \ \cos(x) \ \cdot \ \cos(x) \ - \ sen(x) \ \cdot \ sen(x) \ \therefore \\ \\ \boxed{\boxed{\cos(2 \ \cdot \ x) \ = \ \cos^2(x) \ - \ sen^2(x)}}$

É legal chegar nos vestibulares já sabendo das fórmulas do arco duplo, isso te dá tempo... nesta segunda fase da Unicamp, por exemplo, caiu!

Enfim, vamos à equação : 

$(2 \ \cdot \ \cos^2(x) \ + \ 3 \ \cdot \ sen(x)) \ \cdot \ (\underbrace{\cos^2(x) \ - \ sen^2(x)}_{cosseno \ do \ arco \ duplo}) \ = \ 0 \ \rightarrow \\ \\ \\ (2 \ \cdot \ \cos^2(x) \ + \ 3 \cdot \ sen(x)) \ \cdot \ \cos(2 \ \cdot \ x) \ = \ 0 \ \rightarrow$

Daí vem que $\Rightarrow$

$\circ \ \cos(2 \ \cdot \ x) \ = \ 0 \ \rightarrow \\ \\ \cos(2 \ \cdot \ x) \ = \ \cos\bigg(\dfrac{\pi}{2} \ + \ K \ \cdot \ \pi\bigg)$

Se  $x \ \in \ [0, 2 \ \cdot \ \pi]$,$2 \ \cdot \ x \ \in \ [0, 4 \ \cdot \ \pi]$, logo, acharemos os valores que satisfazem o intervalo.

$\cos(2 \ \cdot \ x_{_1}) \ = \ \cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg) \ \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ x_{_1} \ = \ \dfrac{\pi}{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{x_{_1} \ = \ \dfrac{\pi}{4}}}$

$\cos(2 \ \cdot \ x_{_3}) \ = \ \cos\bigg(\dfrac{5 \ \cdot \ \pi}{2}\bigg) \ \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ x_{_3} \ = \ \dfrac{5 \ \cdot \ \pi}{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{x_{_3} \ = \ \dfrac{5 \ \cdot \pi}{4}}}$

$\cos(2 \ \cdot \ x_{_4}) \ = \ \cos\bigg(\dfrac{7 \ \cdot \pi}{2}\bigg) \ \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ x_{_4} \ = \ \dfrac{7 \ \cdot \pi}{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{x_{_4} \ = \ \dfrac{7 \ \cdot \pi}{4}}}$

$\bullet \ 2 \ \cdot \ \cos^2(x) \ + \ 3 \cdot \ sen(x) \ = \ 0 \rightarrow \\ \\ 2 \ \cdot \ (1 \ - \ sen^2(x)) \ + \ 3 \cdot \ sen(x) \ = \ 0 \ \rightarrow \\ \\ 2 \ - \ 2 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 3 \ \cdot \ sen(x) \ = \0 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{2 \ \cdot \ sen^2(x) \ - \ 3 \ \cdot \ sen(x) \ - \ 2 \ = \ 0}$

$\Delta \ = \ -3^2 \ - \ 4 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ -2 \ \rightarrow \\ \\ \Delta \ = \ 25 \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ = \ \dfrac{-(-3) \ \pm \ \sqrt{25}}{2 \ \cdot \ 2} \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ = \ -2 \ \rightarrow \ N\~ao \ serve!$

$sen(x) \ = \ \dfrac{-1}{2} \ \rightarrow \\ \\ sen(x) \ = \ sen\bigg(\dfrac{7 \ \cdot \ \pi}{6}\bigg) \ ou \ sen\bigg(\dfrac{11 \ \cdot \ \pi}{6}\bigg)$

$x_{_5} \ = \ \dfrac{7 \ \cdot \ \pi}{6} \\ \\ \\ x_{_6} \ = \ \dfrac{11 \ \cdot \ \pi}{6}$