Question

fuvest - considere circunferência de centro o e raio 2 cm tangente à reta r no ppntp t. seja x a medida do angulo aot, onde a é um ponto da circunferência e 0 menor x menor pi/2, calcule, em função de x a área do trapézio oabt tal que ab//ot

Answer 1

Resposta: A = 2.sen(x).(2 - cos(x))

Explicação passo-a-passo:

Antes de tudo, deve-se ter em mente a fórmula da área de um trapézio (At):

B = base maior

b = base menor

h = altura

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Portanto:   At = (B + b).h/2

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Sabendo que o raio é 2, percebe-se que a Base maior é o próprio raio:

B = 2

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Perceba, na segunda imagem, que a altura do trapézio é um dos catetos do triângulo retângulo. Desse modo, podemos utilizar o seno(x) para achar sua altura em função do ângulo X.

Sen(x) = h / 2

Assim: h = 2.sen(x)

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acabamos de achar a altura do trapézio, falta a base menor (b).

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Perceba, pela terceira imagem, que a base menor AB, é resultado da subtração do raio OT pelo cateto adjacente do triângulo retângulo.

Logo, a base menor (b) é:

b = Raio - cateto adjacente

Vamos achar o cateto para realizar a subtração. Ficaria assim:

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cos(x) = cateto adjacente / 2

cateto adjacente = 2.cos(x)

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Assim, a base menor é:

b = 2 - 2.cos(x)

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Já temos todos os dados para aplicar na fórmula da área.

At = [B + (b)].h/2

At = [2 + (2 - 2.cos(x))].2.sen(x)/2

At = [ 2 + 2 - 2.cos(x)].sen(x)

At = [4 - 2.cos(x)].sen(x)

aplicando distributiva

At = 4.sen(x) - 2.cos(x).sen(x)

At = 2.2sen(x) - 2.cos(x).sen(x)

colocando 2.sen(x) em evidência:

At = 2.sen(x).(2 - cos(x))

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Resposta: At = 2.sen(x).(2 - cos(x))