Question

FUVEST - As páginas de um livro medem 1dm de base e $\sqrt{1+ \sqrt{3} }$ dm de altura. Se este livro foi parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, determine a medida do ângulo α, formado pelas diagonais das páginas.

Então. Resolvi tudo. Tentei pela lei de cossenos, considerando o triângulo de baixo com lado um devido ao LAL... ok... mas eu me perdi na parte da radiciação! eu simplesmente travei e não consegui achar a resposta.

D² = 1² + $\sqrt{1+ \sqrt{3} }$²
D² = 1 +$1+ \sqrt{3}$
D = 2 + $\sqrt{3}$
$D = \sqrt{2+\sqrt{3 }$

BELEZA a Diagonal é isso \sqrt{2+\sqrt{3 }[/tex]

MASSSSSSS qd substitui na lei dos cossenos

l² = D² + D² - 2 . cos α . D . D
l² = 2D² - 2D² . cos α

RESUMINDO

Fica assim 1 - 2.(2+\sqrt{3 }) /


daí nao sai

$\frac{1 - 2.(2+\sqrt{3})}{2.(2+\sqrt{3})}$

A resposta é que o ângulo alfa é 30º, mas pra isso

cos α = √3/2

e eu n sei chegar nisso

HELP

Answer 1

→Primeiro vamos calcular a medida da diagonal da página utilizando o teorema de tales, podemos deixa-la elevada ao quadrado uma vez que na lei dos cossenos ela estará assim

→Depois vamos calcular o angulo formado entre as duas diagonais das páginas do livro entreaberto usando a lei do cosseno


Medida da diagonal da página:

$d^{2}=1^{2}+(\sqrt{1+\sqrt{3}})^{2}$

d² = 1 + 1 + √3

d² = 2 √3

O angulo entre as duas diagonais:

Os dois lados do triângulo serão as diagonais da página, e o outro será a base do
triângulo equilátero de lado 1, que vale 1.

b²=d² + d² - 2 · d· d · cos α
Simplificando:

b² = 2d² - 2d² · cos α

Colocando 2d² em evidência:

$b^{2} = 2d^{2}\cdot (1- \cos \alpha )$

$1-\cos \alpha =\dfrac{b^{2}}{2d^{2}}$

$-\cos \alpha =\dfrac{b^{2}}{2d^{2}}-1$                         (multiplicando tudo por -1)

$\cos \alpha =1-\dfrac{b^{2}}{2d^{2}}$

$\cos \alpha =1-\dfrac{1}{2\cdot (2+\sqrt{3})}$

Multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado (2-√3) obtemos:

$\cos \alpha =1-\dfrac{1}{2\cdot (2+\sqrt{3})}$

$\cos \alpha =1-\dfrac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (2^{2}-(\sqrt{3})^{2})}$

$\cos \alpha =1-\dfrac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (4-3)}$

$\cos \alpha =1-\dfrac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (1)}$

$\cos \alpha =1-\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$

$\cos \alpha =1-\left ( \dfrac{2}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )$

Fazendo o jogo de sinal na fração:

$\cos \alpha =1-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

O único resultado possível é:

cos α = 30°

O outro resultado seria 270°, porém este resultado não é possível porque o maior ângulo de abertura do livro é 180°.

Bons estudos! =)

Answer 2

A medida do ângulo α formado pelas diagonais das páginas é 30º.

Considere a figura abaixo.

O triângulo ABC é retângulo em B. Como AB = √(1 + √3) e BD = 1, então, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do segmento AD é:

AD² = (√(1 + √3))² + 1²

AD² = 1 + √3 + 1

AD² = 2 + √3

AD = √(2 + √3) dm.

Da mesma forma, temos que AC = √(2 + √3) dm.

Perceba que o triângulo BCD é equilátero, porque os segmentos BC e BD medem 1 dm e o ângulo B é igual a 60º.

Veja o que diz a Lei dos Cossenos:

• Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo por ele formado.

Utilizando a Lei dos Cossenos no triângulo ACD, obtemos:

CD² = AC² + AD² - 2.AC.AD.cos(α)

1² = (√(2 + √3))² + (√(2 + √3))² - 2.√(2 + √3).√(2 + √3).cos(α)

1 = 2 + √3 + 2 + √3 - 2.(2 + √3).cos(α)

1 = 4 + 2√3 - (4 + 2√3).cos(α)

(4 + 2√3).cos(α) = 3 + 2√3

cos(α) = (3 + 2√3)/(4 + 2√3)

Multiplicando o numerador e o denominador por 4 - 2√3, obtemos:

cos(α) = √3/2

α = arccos(√3/2)

α = 30º.

Para mais informações sobre a Lei dos Cossenos: https://brainly.com.br/tarefa/1420367