Question

(fuvest) a soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine: a) o produto dos dois números b) a soma dos dois números.

Answer 1

O produto dos dois números é 2 e a soma deles é $2\sqrt{2}$.

Vamos à explicação!

Para conseguir responder as duas alternativas devemos estar atentos ao que é um número elevado ao quadrado e o que será o inverso disso.

Número elevado ao quadrado x Número inverso do quadrado

Nessas duas situações estamos falando em operações de potenciação:

• Ao quadrado: um número multiplicado por ele mesmo;
• Inverso do quadrado: será 1 dividido por esse número ao quadrado.

Sabemos que:

• A soma dos quadrados é igual a 4.
• A soma dos inversos dos quadrados é igual a 1.

Se considerarmos x e y como esses números, podemos traduzir essa relação em duas expressões:

• x² + y² = 4
• 1/x² + 1/y² = 1

Letra a - Produto desses números:

Desenvolvemos o cálculo a partir da segunda expressão.

$\frac{1}{x^{2} } +\frac{1}{y^{2} } = 1\\\\\frac{x^{2}+y^{2} }{x^{2} .y^{2} } = 1\\\\\frac{4}{x^{2} y^{2} } = 1\\\\x^{2} *y^{2}=2^{2} \\\\x*y=2$

O produto dos dois números será igual a 2.

Letra b - Soma desses números:

Desenvolvemos o cálculo a partir da primeira expressão.

Se a soma dos dois números é "s", o quadrado dos dois números deve ser "s" ao quadrado.

$s=x+y\\\\s^{2} =(x+y)^{2} \\\\s^{2} = x^{2} + 2xy+y^{2}$

Lembrando que "x² + y²" é igual a 4:

$s^{2} = 4 +2xy\\\\s^{2} = 4 + 2 *2\\\\s^{2} = 4 + 4\\\\s^{2} = 8\\\\s = \sqrt{8}\\\\s = 2\sqrt{2}$

A soma entre esses dois números será $2\sqrt{2}$.

Espero ter ajudado!

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