Question

(FUVEST)
a) Expresse sen(3x) em função de sen(x).
b) Resolva a inequação sen(3x) > 2sen(x), para 0 < x < π.

Consegui
a) sinx(3-4sin²x)
b) 0 < x < π/6 união com 5π/6 < x < π

Estou meio em dúvida na b)

Answer 1

a)  Expressar  sen 3x  em função de  sen x.

Aplicaremos a fórmula para calcular o seno da soma de dois arcos

     •  sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a

para  a = 2x  e  b = x.


     $\mathsf{sen\,3x=sen(2x+x)}\\\\ \mathsf{sen\,3x=sen\,2x\cdot cos\,x+sen\,x\cdot cos\,2x}$


Agora, aplique as identidades do seno e do cosseno do arco duplo:

     $\mathsf{sen\,3x=(2\,sen\,x\,cos\,x)\cdot cos\,x+sen\,x\cdot (cos^2\,x-sen^2\,x)}\\\\ \mathsf{sen\,3x=2\,sen\,x\,cos^2\,x+sen\,x\,cos^2\,x-sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen\,3x=3\,sen\,x\,cos^2\,x-sen^3\,x}$


Mas  cos² x = 1 − sen² x:

     $\mathsf{sen\,3x=3\,sen\,x\cdot (1-sen^2\,x)-sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen\,3x=3\,sen\,x-3\,sen^3\,x-sen^3\,x}\\\\ \mathsf{sen\,3x=3\,sen\,x-4\,sen^3\,x}$


Colocando  sen x  em evidência:

     $\mathsf{sen\,3x=sen\,x\cdot (3-4\,sen^2\,x)}$        ✔

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b)  Resolver a inequação trigonométrica

     sen 3x > 2 sen x

para  0 < x < π.


Podemos substituir  sen 3x  pela fórmula obtida no item anterior:

     $\mathsf{sen\,x\cdot (3-4\,sen^2\,x)>2\,sen\,x}\\\\ \mathsf{sen\,x\cdot (3-4\,sen^2\,x)-2\,sen\,x>0}\\\\ \mathsf{sen\,x\cdot (3-4\,sen^2\,x-2)>0}\\\\ \mathsf{sen\,x\cdot (1-4\,sen^2\,x)>0}$


Faça uma mudança de variável para  0 < x < π:

     $\mathsf{sen\,x=t\qquad com~~0<t\le 1}$


e a inequação fica

     $\mathsf{t\cdot (1-4t^2)>0}\\\\ \mathsf{t\cdot (1-(2t)^2)>0}\\\\ \mathsf{t\cdot \big[(1-2t)(1+2t)\big]>0}\\\\ \mathsf{t(1-2t)(1+2t)>0}$


Como  t > 0, consequentemente

    2t > 0

    ⟹   1 + 2t > 1 > 0

    ⟹    t(1 + 2t) > 0


Logo, a parcela  1 − 2t  que sobra deve ser necessariamente também maior que zero, para que todo o produto seja positivo. Então, devemos ter

     $\mathsf{1-2t>0}\\\\ \mathsf{2t<1}\\\\ \mathsf{t<\dfrac{1}{2}}$


Substituindo de volta para  t = sen x,  devemos ter

     $\mathsf{0<sen\,x<\dfrac{1}{2}}$


Observando no ciclo trigonométrico para  0 < x < π,  isto é, para  x  no  1º ou no 2º quadrante, tiramos que

     $\mathsf{0<x<\dfrac{\pi}{6}\quad ou\quad \dfrac{5\pi}{6}<x<\pi.}$


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\Big]0,\,\dfrac{\pi}{6}\Big[\,\cup\,\Big]\dfrac{5\pi}{6},\,\pi\Big[.}$


Bons estudos! :-)