Question

(Fuvest 97) Numa primeira fase de um
campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez
contra todos os demais. Nessa fase foram realizados
78 jogos. Quantos eram os jogadores?

assunto sobre : agrupamentos e métodos de contagem.
ha e eu gostaria que me desse a resolução completa.

Answer 1

Primeiramente vamos aplicar a formula da combinação:
$Cn,p = n! / p!(n-p)!$
Sabemos que cada partida obrigatoriamente terá que ter 2 jogadores então:
$Cn,2 = n! / 2!(n-2)!\\ n * (n - 1) * (n - 2)! / (n - 2)! = 78 * 2\\ n^2 * n - 156 = 0$

Breve explicação:
O 156 que estava positivo agora fica negativo(trocou de lugar), e o (n - 2)! foi desconsiderado pois o divisor era igual, então, nós cortamos.

A formula acima nos levou a uma equação de segundo grau:
$x^2 - x - 156 = 0\\ \Delta = b^2 - 4ac\\ \Delta = 1^2 - 4 * 1 * 156\\ \Delta = 1 + 624 = 625\\ x= -b+- \sqrt{\Delta} / 2 * a\\ x= -(-1) +- \sqrt{\625} / 2 * 1\\ x'= 1 + 25 / 2 = 13\\ x'' = 1 - 25 / 2 = -14$

R= 13 Jogadores.