Question

(FUVEST 2017)Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é:A) 1/4B) 7/24C) 1/3D) 3/8E) 5/12

Answer 1

Olá!

Temos 4 nomes distintos, logo a cada retirada de papel existem 4 possibilidades para o nome que será "sorteado", portanto, o total possível é dado por 4! = 24 possibilidades distintas.

Consideremos as letras A, P, C, R as letras para representar os nomes Ana, Paulo, Cláudia e Rodrigo, respectivamente, temos que a sequência (A, P, C, R) representa cada participante retirar o seu próprio nome.

Das 24 sequências possíveis, os casos em que nenhum deles retira o seu próprio nome são 9 formas distintas:

(P, A, R, C), (C, A, R, P), (R, A, P, C), (P, C, R, A), (C, R, A, P), (R, C, A, P), (P, R, A, C), (C, R, P, A), (R, C, P, A).

Portanto, a probabilidade de que nenhum deles retire o seu próprio nome deve ser dada pela quantidade de vezes que não retiram seus próprios nomes (9) dividida pelo total de possibilidades (24).

$\frac{9}{24} =\frac{3}{8}$ (forma simplificada)

A alternativa correta é a letra D.

Answer 2

Resposta:

D

Explicação passo-a-passo:

Como já resolveram essa questão em vários lugares, vou deixar duas soluções alternativas que não vi em lugar nenhum e não precisa ficar escrevendo possíveis combinações a esmo e serve pra qualquer problema do tipo, mesmo que os números sejam grandes.

Primeira forma: Basicamente esse é um caso de permutação caótica, quando ninguém pode ficar na "posição inicial". Imagina que eles marcaram o lugar deles no chão e o sorteio era escolher  um lugar qualquer. Assim, o número de combinações disso é:

4! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!] = 4! x [9/24] = 9

9/24 = 3/8

Segunda forma: a probabilidade p1 de ninguém retirar seu nome é igual a probabilidade p2 de alguém retirar seu nome subtraída de 1 (p1 = 1 - p2).

Portanto, basta calcular a probabilidade p2.

Antes disso, há um cálculo para ver o número de elementos da interseção de conjuntos. Vou por uma forma simples do cálculo para um união de 4 elementos que já dá pra pegar a ideia.

A∪B∪C∪D = A + B + C + D - A∩B - A∩C - A∩D - B∩C - B∩D - C∩D + A∩B∩C + A∩B∩D + A∩C∩D + B∩C∩D - A∩B∩C∩D.

Isso parece complicado, mas é bem simples quando você entende a ideia, basicamente você soma o número dos elementos dos conjuntos um a um, subtrai das interseções dois a dois, soma as interseções 3 a 3, subtrai as interseções 4 a 4 e assim vai.

Sabendo disso, digamos que A₁ é quando  uma pessoa pega seu nome, A₂ é quando duas pegam (e a soma das interseções 2 a 2), A₃ é quando 3 pegam (a soma das interseções 3 a 3) e A₄ é quando as 4 pegam (a soma das interseções 4 a 4)

A₁ = 24 (Digamos que a primeira a pegar seja a Ana e ela pega seu nome, então o resto dos papeis podem ser distribuídos de seis modos possíveis. Se o Paulo pegar, também há 6 modos e assim vai. 6x4 = 24)

A₂ = 12 (Você pode escolher de 6 modos duas pessoas que vão pegar seus nomes  - 4!/(2! x 2!) - e o restante dos papéis podem ser distribuídos de 2 modos entre as duas pessoas que sobraram)

A₃ = 4 (você pode escolher de 4 modos 3 pessoas que pegarão os papéis com seus nomes)

A₄ = 1 (só há um modo de todo mundo pegar seu nome)

Então 24 - 12 + 4 - 1 = 15 (número de casos nos quais pelo menos alguém pegou o nome)

p2 = 15/24

1 - p2 = p1 = 9/24 = 3/8

Isso parece difícil, mas é bem fácil quando você entende o conceito, que também não é muito difícil. Em dois minutos ou menos dá pra responder essa questão usando um dos dois jeitos.