Question

(FUVEST-2010) Seja n um número inteiro, n  0. a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio. c) Considere, agora, um número natural k tal que 0  k  n.Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

Answer 1

(a) As maneiras possíveis de distribuição das bolas formam o seguinte conjunto de pares:

$S=\{(0,n),(1,n-1),...,(n-1,1),(n,0)\},$

onde $(a,b)$ é tal que $a$ é o n.º de bolas de Luís e $b$ é o n.º de bolas de Antônio.

 

$S$ , portanto, tem $n+1$ elementos.

 

Resposta: $n+1$

 

 

(b) As maneiras possíveis de distribuição das bolas formam os seguintes conjuntos de ternas:

$S_0=\{(0,0,n),(0,1,n-1),...,(0,n,0)\},$

 

$S_1=\{(1,0,n-1),(1,1,n-2),...,(1,n-1,0)\}$

 

$\vdots$

 

$S_{n-2}=\{(n-2,0,2),(n-2,1,1),(n-2,2,0)\}$

 

$S_{n-1}=\{(n-1,0,1),(n-1,1,0)\}$

 

$S_n=\{(n,0,0)\}$

onde $(a,b,c)$ é tal que $a$ é o n.º de bolas de Pedro, $b$ é o n.º de bolas de Luís e $c$ é o n.º de bolas de Antônio.

$S_n$ tem 1 elemento.

 

$S_{n-1}$ tem 2 elementos.

 

$S_{n-2}$ tem 3 elementos.

$\vdots$

 

$S_{1}$ tem $n$ elementos.

 

$S_{0}$ tem $n+1$ elementos.

 

O total de maneiras possíveis de distribuição das bolas é, portanto:

 

$=1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)$

 

Esta soma é uma PA de $n$ termos, razão 1 e último termo $n+1$.

 

O valor dessa soma é:

 

$=\frac{(n+1).(1+n+1)}2=\frac{(n+1).(n+2)}2$

Resposta: $\frac{(n+1).(n+2)}2$

 

 

(c) N.º de maneiras possíveis de distribuição de uma certa quantidade de bolas maior que  $<var>k</var>$  tal que $<var>0 \leq k \leq n</var>$:

 

$<var>=\underbrace{1 + ... + (n-k+1)}_{outra\ PA} = \underbrace{\frac{(n-k+1)(1+n-k+1)}2}_{f\'ormula\ da\ soma\ de\ PA}= </var>$

 

$<var>\frac{(n-k+1)(n-k+2)}2</var>$

 

O n.º total de maneiras possíveis de distribuição das bolas já foi calculado na letra (b).

 

Portanto a probabilidade procurada é o quociente entre o n.º de maneiras maior que  $<var>k</var>$  e o n.º total de maneiras possíveis:

 

$<var>=\frac{(n-k+1)(n-k+2)}2 : \frac{(n+1)(n+2)}2 = \frac{(n-k+1)(n-k+2)}{(n+1)(n+2)}</var>$   (resposta)